Номер 9.23, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.23, страница 52.

9.23. a) Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $g(x) = x^{-2}$. Докажите, что

$f(16x^8) = 2(g(x)^{-1})$.

б) Известно, что $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $g(x) = x^{-3}$. Докажите, что

$f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$.

а) Даны функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ и $g(x) = x^{-2}$. Необходимо доказать тождество $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}$.

Для этого преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Преобразуем левую часть, подставив в функцию $f(x)$ аргумент $16x^8$:
$f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}}$

Используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$f(16x^8) = 16^{\frac{1}{4}} \cdot (x^8)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot x^{8 \cdot \frac{1}{4}} = 2x^2$.

Теперь преобразуем правую часть, подставив определение функции $g(x)$:
$2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$2(x^{-2})^{-1} = 2 \cdot x^{(-2) \cdot (-1)} = 2x^2$.

Мы видим, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению: $2x^2 = 2x^2$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Даны функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g(x) = x^{-3}$. Необходимо доказать тождество $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$.

Рассмотрим левую часть равенства. Подставим $27x^9$ в функцию $f(x)$:
$f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}}$

Применим свойства степеней:
$f(27x^9) = 27^{\frac{2}{3}} \cdot (x^9)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 \cdot x^{9 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 \cdot x^6 = 9x^6$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства, используя определение $g(x)$:
$9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2}$

По свойству степени получаем:
$9(x^{-3})^{-2} = 9 \cdot x^{(-3) \cdot (-2)} = 9x^6$.

Левая и правая части равны: $9x^6 = 9x^6$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.