Номер 9.17, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.17, страница 51.

9.17. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x < 0, \\ \frac{5}{x^3}, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} |x|, \text{ если } x < 1, \\ \frac{1}{x^3}, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

а)

Заданная функция является кусочной: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x < 0 \\ x^{\frac{5}{3}}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. Для $x < 0$ строим график функции $y=x$. Это прямая линия (биссектриса второго координатного угла), проходящая через точки $(-1, -1)$, $(-2, -2)$ и т.д. В точке $x=0$ будет выколотая точка $(0,0)$.

2. Для $x \ge 0$ строим график функции $y = x^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{x^5}$. Это степенная функция. Она проходит через точки $(0,0)$ (точка включена) и $(1,1)$. Поскольку показатель степени $\frac{5}{3} > 1$, функция возрастает быстрее линейной и ее график выпуклый вниз.

3. Совмещая обе части, получаем график всей функции. Так как предел слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} x = 0$ и значение функции в этой точке $y(0) = 0^{\frac{5}{3}} = 0$, функция является непрерывной в точке $x=0$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: функция принимает все действительные значения, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Монотонность: производная $y'=1$ при $x<0$ и $y'=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \ge 0$ при $x \ge 0$. Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Экстремумы: точек максимума и минимума нет.
• Четность, нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
• Асимптоты: при $x \to -\infty$ график функции совпадает с прямой $y=x$, которая является наклонной асимптотой.

Ответ: График функции состоит из луча $y=x$ для $x < 0$ и кривой $y=x^{5/3}$ для $x \ge 0$. Основные свойства: область определения и область значений — все действительные числа; функция непрерывна и возрастает на всей числовой оси; нуль функции в точке $x=0$; $y>0$ при $x>0$ и $y<0$ при $x<0$; экстремумов не имеет; асимптота $y=x$ при $x \to -\infty$.

б)

Заданная функция является кусочной: $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 1 \\ x^{\frac{1}{3}}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Раскроем модуль, чтобы представить функцию в более удобном виде: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика:

1. Для $x < 0$ строим график $y=-x$. Это луч, выходящий из точки $(0,0)$ и проходящий через $(-1, 1)$.

2. Для $0 \le x < 1$ строим график $y=x$. Это отрезок, соединяющий точки $(0,0)$ (включительно) и $(1,1)$ (не включительно).

3. Для $x \ge 1$ строим график $y = \sqrt[3]{x}$. Это ветвь кубического корня, начинающаяся в точке $(1,1)$ (включительно) и проходящая, например, через точку $(8,2)$.

4. График непрерывен в точках "склейки" $x=0$ и $x=1$, так как значения функции и пределы слева и справа в этих точках совпадают. Однако в этих точках есть изломы, поэтому функция недифференцируема.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: функция принимает только неотрицательные значения, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$. Это точка глобального минимума.
• Четность, нечетность: функция является функцией общего вида.
• Асимптоты: при $x \to -\infty$ график функции совпадает с прямой $y=-x$, которая является наклонной асимптотой.

Ответ: График функции состоит из частей прямых $y=|x|$ для $x < 1$ и кривой $y=\sqrt[3]{x}$ для $x \ge 1$. Основные свойства: область определения — все действительные числа, область значений — $[0; +\infty)$; функция непрерывна на всей числовой оси; нуль функции в точке $x=0$; $y>0$ при $x \ne 0$; убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$; имеет точку глобального минимума $(0,0)$; асимптота $y=-x$ при $x \to -\infty$.