Номер 9.22, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.22, страница 52.

9.22. Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Найдите:

а) $f(8x^3)$;

б) $f(x^{-6})$;

в) $f\left(\frac{1}{27}x\right)$;

г) $f(x^{12})$.

Дана функция $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Чтобы найти значения функции для заданных аргументов, необходимо подставить каждый аргумент вместо $x$ в определение функции и упростить полученное выражение, используя свойства степеней.

а) $f(8x^3)$
Подставляем $8x^3$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(8x^3) = (8x^3)^{-\frac{2}{3}}$
Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:
$(8x^3)^{-\frac{2}{3}} = 8^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{-\frac{2}{3}}$
Теперь упростим каждый множитель:
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{8})^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
Для второго множителя применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x^3)^{-\frac{2}{3}} = x^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-2}$
Перемножим полученные результаты:
$f(8x^3) = \frac{1}{4} \cdot x^{-2} = \frac{1}{4x^2}$
Ответ: $\frac{1}{4x^2}$

б) $f(x^{-6})$
Подставляем $x^{-6}$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(x^{-6}) = (x^{-6})^{-\frac{2}{3}}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x^{-6})^{-\frac{2}{3}} = x^{-6 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{\frac{12}{3}} = x^4$
Ответ: $x^4$

в) $f(\frac{1}{27}x)$
Подставляем $\frac{1}{27}x$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(\frac{1}{27}x) = (\frac{1}{27}x)^{-\frac{2}{3}}$
Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:
$(\frac{1}{27}x)^{-\frac{2}{3}} = (\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$
Упростим первый множитель:
$(\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}} = (27)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
Перемножим полученные результаты:
$f(\frac{1}{27}x) = 9 \cdot x^{-\frac{2}{3}}$
Ответ: $9x^{-\frac{2}{3}}$

г) $f(x^{12})$
Подставляем $x^{12}$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(x^{12}) = (x^{12})^{-\frac{2}{3}}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x^{12})^{-\frac{2}{3}} = x^{12 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-\frac{24}{3}} = x^{-8}$
Ответ: $x^{-8}$