Номер 9.19, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.19, страница 52.

9.19. a) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0, \\ x^{\frac{2}{3}}, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x < -1, \\ 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 0, \\ x^{\frac{3}{2}}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

а)

Дана кусочно-заданная функция:

$y = f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0, \\ x^{\frac{2}{3}}, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Эта функция определена для всех действительных чисел $x$. Каждая из трех частей функции ($x^2$, $x^{\frac{2}{3}}$, $\frac{1}{x}$) непрерывна и дифференцируема в своей области определения. Проблемные точки, в которых функция может быть не непрерывной или не дифференцируемой, — это точки "стыка", то есть $x=0$ и $x=1$. Исследуем функцию в этих точках.

Исследование в точке $x=0$:

1. Непрерывность. Для непрерывности в точке $x=0$ необходимо, чтобы односторонние пределы были равны значению функции в этой точке.

Значение функции: $f(0) = 0^2 = 0$.

Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$.

Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^{\frac{2}{3}} = 0$.

Поскольку $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x=0$.

2. Дифференцируемость. Для дифференцируемости в точке $x=0$ необходимо, чтобы левая и правая производные в этой точке существовали и были равны.

Найдем производную для каждого интервала:

При $x < 0$, $y' = (x^2)' = 2x$.

При $0 < x < 1$, $y' = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Левая производная в $x=0$: $f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} 2x = 0$.

Правая производная в $x=0$: $f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = +\infty$.

Так как правая производная в точке $x=0$ является бесконечной, функция не дифференцируема в этой точке. График функции в точке $(0, 0)$ имеет касп (точку возврата) с вертикальной касательной.

Исследование в точке $x=1$:

1. Непрерывность.

Значение функции: $f(1) = 1^{\frac{2}{3}} = 1$.

Левосторонний предел (при $x \to 1^-$): $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^{\frac{2}{3}} = 1$.

Правосторонний предел (при $x \to 1^+$): $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$.

Поскольку $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$, функция непрерывна в точке $x=1$.

2. Дифференцируемость.

Найдем производную для интервала $x > 1$: $y' = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.

Левая производная в $x=1$: $f'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{3}$.

Правая производная в $x=1$: $f'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} (-\frac{1}{x^2}) = -1$.

Так как $f'_{-}(1) \neq f'_{+}(1)$, функция не дифференцируема в точке $x=1$. График функции в точке $(1, 1)$ имеет излом (угловую точку).

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$, но не дифференцируема в точках $x=0$ и $x=1$.

б)

Дана кусочно-заданная функция:

$y = f(x) = \begin{cases} 2, & \text{если } x < -1, \\ 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 0, \\ x^{\frac{3}{2}}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Эта функция определена для всех действительных чисел $x$. Точки "стыка", требующие исследования, — это $x=-1$ и $x=0$.

Исследование в точке $x=-1$:

1. Непрерывность.

Значение функции: $f(-1) = 2(-1)^2 = 2$.

Левосторонний предел (при $x \to -1^-$): $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 2 = 2$.

Правосторонний предел (при $x \to -1^+$): $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} 2x^2 = 2(-1)^2 = 2$.

Поскольку $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) = 2$, функция непрерывна в точке $x=-1$.

2. Дифференцируемость.

Найдем производную для каждого интервала:

При $x < -1$, $y' = (2)' = 0$.

При $-1 < x < 0$, $y' = (2x^2)' = 4x$.

Левая производная в $x=-1$: $f'_{-}(-1) = \lim_{x \to -1^-} 0 = 0$.

Правая производная в $x=-1$: $f'_{+}(-1) = \lim_{x \to -1^+} 4x = 4(-1) = -4$.

Так как $f'_{-}(-1) \neq f'_{+}(-1)$, функция не дифференцируема в точке $x=-1$. График функции в точке $(-1, 2)$ имеет излом.

Исследование в точке $x=0$:

1. Непрерывность.

Значение функции: $f(0) = 2(0)^2 = 0$.

Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x^2 = 0$.

Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^{\frac{3}{2}} = 0$.

Поскольку $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x=0$.

2. Дифференцируемость.

Найдем производную для интервала $x > 0$: $y' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Левая производная в $x=0$: $f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} 4x = 0$.

Правая производная в $x=0$: $f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0$.

Так как $f'_{-}(0) = f'_{+}(0) = 0$, функция дифференцируема в точке $x=0$, и ее производная $f'(0)=0$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$, но не дифференцируема в точке $x=-1$.