Номер 9.16, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.16, страница 51.

9.16. Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = x^{-\frac{8}{5}}, \\ y = x^2 - 4x + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^{\frac{1}{9}}, \\ y = 2x + 3; \end{cases}$

В) $\begin{cases} y = x^{-\frac{5}{3}}, \\ y = 2x^2; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} y = x^{\frac{2}{7}}, \\ y = (x + 2)^3. \end{cases}$

Для определения числа решений каждой системы уравнений проанализируем графики функций, стоящих в левых и правых частях уравнений. Число решений системы равно числу точек пересечения этих графиков.

а) $ \begin{cases} y = x^{\frac{8}{5}} \\ y = x^2 - 4x + 1 \end{cases} $

1. Проанализируем первую функцию $y_1 = x^{\frac{8}{5}}$. Показатель степени $\frac{8}{5}$ является рациональным числом с нечетным знаменателем, поэтому область определения функции — все действительные числа ($D(y_1) = (-\infty; +\infty)$). Поскольку числитель 8 — четное число, функция $y_1 = (\sqrt[5]{x})^8$ принимает только неотрицательные значения ($y_1 \ge 0$). Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. При $x>0$ функция возрастает, при $x<0$ — убывает. В точке $(0,0)$ находится минимум функции. График функции выпуклый вниз.

2. Проанализируем вторую функцию $y_2 = x^2 - 4x + 1$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = -3$.

3. Найдем число точек пересечения. Так как $y_1 = x^{\frac{8}{5}} \ge 0$, решения системы могут существовать только для тех $x$, при которых $y_2 = x^2 - 4x + 1 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Таким образом, $y_2 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 2-\sqrt{3}] \cup [2+\sqrt{3}, \infty)$.

Рассмотрим эти промежутки:

• При $x < 0$: $y_1(x) = x^{\frac{8}{5}}$ убывает. $y_2(x) = x^2 - 4x + 1$ также убывает (вершина параболы в $x=2$). В точке $x=0$ имеем $y_1(0)=0$ и $y_2(0)=1$. При $x \to -\infty$ обе функции стремятся к $+\infty$, но $y_2$ растет как $x^2$, а $y_1$ как $x^{1.6}$, то есть медленнее. Можно показать, что при $x<0$ график параболы всегда лежит выше графика степенной функции, поэтому на этом промежутке пересечений нет.
• При $x \in [0, 2-\sqrt{3}]$ (примерно $[0, 0.268]$): $y_1(x)$ возрастает от $0$ до $(2-\sqrt{3})^{8/5}$, а $y_2(x)$ убывает от $1$ до $0$. Так как $y_1(0) < y_2(0)$ и $y_1(2-\sqrt{3}) > y_2(2-\sqrt{3})$, на этом отрезке графики пересекаются ровно один раз.
• При $x \in (2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$: $y_2(x) < 0$, а $y_1(x) \ge 0$, поэтому пересечений нет.
• При $x \in [2+\sqrt{3}, \infty)$ (примерно $[3.732, \infty)$): обе функции возрастают. В точке $x=2+\sqrt{3}$ имеем $y_1(2+\sqrt{3}) > 0$ и $y_2(2+\sqrt{3}) = 0$. При $x \to \infty$ парабола $y_2=x^2-4x+1$ растет быстрее, чем степенная функция $y_1=x^{1.6}$. Это означает, что парабола, начиная с более низкого значения, в итоге обгонит степенную функцию. Следовательно, на этом промежутке должно быть одно пересечение.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б) $ \begin{cases} y = x^{\frac{1}{9}} \\ y = 2x + 3 \end{cases} $

1. Функция $y_1 = x^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{x}$ определена и возрастает на всей числовой оси.

2. Функция $y_2 = 2x+3$ также является возрастающей на всей числовой оси.

3. Найдем число решений уравнения $x^{\frac{1}{9}} = 2x+3$. Рассмотрим функцию $f(x) = 2x+3 - x^{\frac{1}{9}}$. Число решений системы равно числу нулей этой функции. Найдем производную: $f'(x) = 2 - \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}} = 2 - \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$. Приравняем производную к нулю: $2 - \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}} = 0 \Rightarrow \sqrt[9]{x^8} = \frac{1}{18} \Rightarrow |x|^{\frac{8}{9}} = \frac{1}{18}$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = -(\frac{1}{18})^{\frac{9}{8}}$ (точка максимума) и $x_2 = (\frac{1}{18})^{\frac{9}{8}}$ (точка минимума).

Проанализируем поведение функции $f(x)$:

• При $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$.
• Функция возрастает до точки $x_1$, где имеет локальный максимум. $f(x_1) = 2x_1+3 - x_1^{\frac{1}{9}} = -2(\frac{1}{18})^{\frac{9}{8}} + 3 + (\frac{1}{18})^{\frac{1}{8}} > 0$.
• Так как $f(-\infty) < 0$ и $f(x_1) > 0$, на интервале $(-\infty, x_1)$ есть один корень.
• Функция убывает от $x_1$ до $x_2$. $f(x_2) = 2x_2+3 - x_2^{\frac{1}{9}} = 2(\frac{1}{18})^{\frac{9}{8}} + 3 - (\frac{1}{18})^{\frac{1}{8}} > 0$. Локальный минимум положителен.
• Так как $f(x_1)>0$ и $f(x_2)>0$, на интервале $(x_1, x_2)$ корней нет.
• После $x_2$ функция возрастает от положительного значения $f(x_2)$ до $+\infty$, поэтому на $(x_2, \infty)$ корней нет.

Следовательно, существует только одно решение.

Ответ: 1 решение.

в) $ \begin{cases} y = x^{-\frac{5}{3}} \\ y = 2x^2 \end{cases} $

1. Функция $y_1 = x^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$ определена для всех $x \neq 0$. При $x>0$ значения $y_1$ положительны. При $x<0$ значения $y_1$ отрицательны.

2. Функция $y_2 = 2x^2$ определена для всех $x$. Ее значения всегда неотрицательны ($y_2 \ge 0$).

3. Найдем точки пересечения.

• При $x<0$, $y_1 < 0$, а $y_2 > 0$. Пересечений нет.
• При $x>0$, $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$. Приравняем функции: $x^{-\frac{5}{3}} = 2x^2$. Умножим обе части на $x^{\frac{5}{3}}$: $1 = 2x^2 \cdot x^{\frac{5}{3}} \Rightarrow 1 = 2x^{2+\frac{5}{3}} \Rightarrow 1 = 2x^{\frac{11}{3}}$. Отсюда $x^{\frac{11}{3}} = \frac{1}{2}$, что дает единственное решение $x = (\frac{1}{2})^{\frac{3}{11}}$.

Также можно заметить, что на промежутке $(0, \infty)$ функция $y_1 = x^{-\frac{5}{3}}$ является убывающей, а функция $y_2 = 2x^2$ — возрастающей. Графики возрастающей и убывающей функций могут пересечься не более одного раза.

Ответ: 1 решение.

г) $ \begin{cases} y = x^{\frac{2}{7}} \\ y = (x+2)^3 \end{cases} $

1. Функция $y_1 = x^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{x^2}$ определена для всех $x$. Так как $x$ возводится в четную степень, $y_1 \ge 0$.

2. Функция $y_2 = (x+2)^3$ — это кубическая парабола, сдвинутая на 2 влево. Она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

3. Найдем точки пересечения. Решения могут существовать только там, где $y_2 \ge 0$, то есть при $(x+2)^3 \ge 0 \Rightarrow x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.

Рассмотрим промежуток $[-2, \infty)$:

• Проверим граничные и другие характерные точки. При $x=-2$: $y_1 = (-2)^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{4} > 0$, а $y_2 = (-2+2)^3 = 0$. При $x=-1$: $y_1 = (-1)^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{1} = 1$, а $y_2 = (-1+2)^3 = 1$. Таким образом, $x=-1$ — это решение. При $x=0$: $y_1 = 0^{\frac{2}{7}} = 0$, а $y_2 = (0+2)^3 = 8$.
• На интервале $(-2, 0)$ функция $y_1 = (\sqrt[7]{-x})^2$ является убывающей (так как основание $-x$ убывает). Функция $y_2 = (x+2)^3$ является возрастающей. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Мы уже нашли это пересечение в точке $x=-1$.
• На интервале $(0, \infty)$ обе функции возрастают. В точке $x=0$ имеем $y_1(0) < y_2(0)$. При больших $x$ функция $y_2 \sim x^3$ растет значительно быстрее, чем $y_1 \sim x^{0.28}$. Графически, $y_1$ является выпуклой вверх, а $y_2$ — выпуклой вниз (для $x>-2$). Можно показать, что на этом промежутке график $y_2$ всегда будет выше графика $y_1$. Пересечений нет.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: 1 решение.