Номер 9.15, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.15, страница 51.

09.15. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = x^{\frac{5}{2}}, \\ y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^{-\frac{1}{3}}, \\ y = \sqrt{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^{\frac{1}{6}}, \\ y = |x|; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^{-\frac{2}{3}}, \\ 2x - y - 1 = 0. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{5}{2}}$ и $y = 1$.

1. График функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ (или $y = (\sqrt{x})^5$) определён для $x \ge 0$. Функция возрастает на всей области определения. График выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит через точку $(1, 1)$, так как $1^{\frac{5}{2}} = 1$.

2. График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат (оси Oy).

Для нахождения решения системы найдём точку пересечения этих двух графиков. Приравняем правые части уравнений:

$x^{\frac{5}{2}} = 1$

Возводя обе части в степень $\frac{2}{5}$, получаем:

$(x^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 1^{\frac{2}{5}}$

$x = 1$

При $x = 1$, значение $y$ из обоих уравнений равно 1. Таким образом, графики пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$

б)

Рассмотрим систему уравнений $y = x^{-\frac{1}{3}}$ и $y = \sqrt{x}$. Для графического решения построим графики этих функций.

1. График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$ (т.е. $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$). Ветви графика находятся в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат. Для $x > 0$ функция убывает. График проходит через точку $(1, 1)$.

2. График функции $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — $x \ge 0$. Функция возрастает на всей области определения. График выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит через точку $(1, 1)$.

Поскольку область определения функции $y = \sqrt{x}$ это $x \ge 0$, нас интересуют только пересечения в I координатной четверти (для $x > 0$), так как в точке $x=0$ первая функция не определена. Приравняем выражения для $y$:

$x^{-\frac{1}{3}} = \sqrt{x}$

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{1}{2}}$

Умножим обе части на $x^{\frac{1}{3}}$ (это возможно, так как $x > 0$):

$1 = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}$

$1 = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}$

Отсюда следует, что $x=1$. Подставив $x=1$ в любое из уравнений, находим $y=1$. Точка пересечения графиков — $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$

в)

Для решения системы $y = x^{\frac{1}{6}}$ и $y = |x|$ построим графики обеих функций.

1. График функции $y = x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x}$. Область определения: $x \ge 0$. Функция возрастающая, график расположен в I координатной четверти. Он выходит из точки $(0, 0)$ и проходит через точку $(1, 1)$.

2. График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат. Он состоит из двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

Поскольку область определения функции $y = x^{\frac{1}{6}}$ — это $x \ge 0$, мы ищем пересечения только в этой области. Здесь график $y=|x|$ совпадает с графиком $y=x$. Таким образом, задача сводится к решению системы:

$\left\{ \begin{array}{l} y = x^{\frac{1}{6}} \\ y = x \end{array} \right.$

Приравниваем правые части:

$x^{\frac{1}{6}} = x$

Одно из решений очевидно: $x=0$. Если $x=0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$ является решением.

Если $x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x^{\frac{1}{6}}$:

$1 = \frac{x}{x^{\frac{1}{6}}} = x^{1-\frac{1}{6}} = x^{\frac{5}{6}}$

Отсюда $x=1$. Если $x=1$, то $y=1$. Точка $(1, 1)$ также является решением.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$

г)

Рассмотрим систему уравнений $y = x^{-\frac{2}{3}}$ и $2x - y - 1 = 0$. Преобразуем второе уравнение к виду $y = 2x - 1$ и построим графики функций.

1. График функции $y = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2}$. Область определения: $x \ne 0$. Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Так как знаменатель всегда положителен, $y > 0$ для всех $x$ из области определения. При $x \to 0$, $y \to +\infty$ (ось Oy — вертикальная асимптота). При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$ (ось Ox — горизонтальная асимптота). График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

2. График функции $y = 2x - 1$ — это прямая. Она пересекает ось Oy в точке $(0, -1)$ и ось Ox в точке $(0.5, 0)$. Прямая также проходит через точку $(1, 1)$, так как $y(1) = 2(1) - 1 = 1$.

Сравнивая графики, мы видим, что точка $(1, 1)$ является точкой пересечения, а значит, и решением системы.

Проверим наличие других точек пересечения.

Для $x > 0$: функция $y = x^{-\frac{2}{3}}$ является убывающей, а функция $y = 2x - 1$ — возрастающей. Две монотонные функции (одна убывающая, другая возрастающая) могут пересечься не более одного раза. Следовательно, $(1, 1)$ — единственное решение для $x > 0$.

Для $x < 0$: функция $y = x^{-\frac{2}{3}}$ является возрастающей. Прямая $y = 2x - 1$ также возрастает. В точке $x=-1$ значение первой функции $y(-1)=1$, а второй $y(-1) = 2(-1)-1 = -3$. Видно, что при $x=-1$ кривая находится значительно выше прямой. При приближении $x$ к 0 слева, $y=x^{-2/3}$ стремится к $+\infty$, а $y=2x-1$ стремится к $-1$. Можно показать, что при $x<0$ график $y=x^{-2/3}$ всегда лежит выше прямой $y=2x-1$, поэтому других точек пересечения нет.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(1, 1)$