Номер 9.12, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.12, страница 51.

ο9.12. a) $y = 2x^{\frac{1}{3}}$;

б) $y = -x^{-\frac{3}{5}}$;

в) $y = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}$;

г) $y = -2x^{\frac{1}{4}}$.

a) Найдём производную функции $y = 2x^{\frac{1}{3}}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(kx^n)' = k \cdot n \cdot x^{n-1}$, где коэффициент $k=2$ и показатель степени $n = \frac{1}{3}$.

Выполним вычисления:

$y' = (2x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

б) Найдём производную функции $y = -x^{-\frac{3}{5}}$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции $(kx^n)' = k \cdot n \cdot x^{n-1}$. В данном случае $k=-1$ и $n = -\frac{3}{5}$.

Выполним вычисления:

$y' = (-x^{-\frac{3}{5}})' = -1 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot x^{-\frac{3}{5} - 1} = \frac{3}{5} \cdot x^{-\frac{3}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}$.

в) Найдём производную функции $y = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}$.

Используем то же правило, где $k=\frac{1}{2}$ и $n = \frac{3}{2}$.

Выполним вычисления:

$y' = \left(\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{3}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}$.

г) Найдём производную функции $y = -2x^{\frac{1}{4}}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции, где $k=-2$ и $n = \frac{1}{4}$.

Выполним вычисления:

$y' = (-2x^{\frac{1}{4}})' = -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4} - 1} = -\frac{2}{4} \cdot x^{\frac{1}{4} - \frac{4}{4}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}$.