Номер 9.5, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.5, страница 50.

9.5. Исследуйте степенную функцию на ограниченность:

а) $y = x^8$;

б) $y = x^{-\frac{3}{4}}$;

в) $y = x^{-5}$;

г) $y = x^{\frac{2}{5}}$.

а) Функция $y = x^8$ определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Поскольку показатель степени 8 — четное число, значение $x^8$ всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$ для любого $x$. Минимальное значение функции достигается при $x=0$ и равно $y=0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0. Сверху функция не ограничена, так как при $x \to \pm\infty$, значения $y = x^8$ неограниченно возрастают, стремясь к $+\infty$.
Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

б) Функция $y = x^{-\frac{3}{4}}$ может быть представлена в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Область определения этой функции задается условием $x^3 > 0$, так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Условию $x^3 > 0$ удовлетворяют все $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0, +\infty)$. Для всех $x$ из области определения значение $y$ будет положительным, $y > 0$. Следовательно, функция ограничена снизу (например, числом 0). При $x \to 0^+$, знаменатель $\sqrt[4]{x^3}$ стремится к нулю, оставаясь положительным, а значит вся дробь стремится к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

в) Функция $y = x^{-5}$ может быть представлена в виде $y = \frac{1}{x^5}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$. Итак, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Рассмотрим поведение функции на разных интервалах:

• При $x > 0$, $x^5 > 0$, и $y > 0$. Когда $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. Это значит, что функция не ограничена сверху.
• При $x < 0$, $x^5 < 0$, и $y < 0$. Когда $x \to 0^-$, $y \to -\infty$. Это значит, что функция не ограничена снизу.

Таким образом, функция не является ни ограниченной сверху, ни ограниченной снизу.
Ответ: функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

г) Функция $y = x^{\frac{2}{5}}$ может быть представлена в виде $y = \sqrt[5]{x^2}$. Поскольку корень пятой степени (нечетной) определен для любого действительного числа, а выражение $x^2$ определено для всех $x$, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Корень пятой степени из неотрицательного числа также неотрицателен. Следовательно, $y = \sqrt[5]{x^2} \ge 0$ для любого $x$. Минимальное значение функции равно 0 и достигается при $x=0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0. Сверху функция не ограничена, так как при $x \to \pm\infty$, $x^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y = \sqrt[5]{x^2} \to +\infty$.
Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.