Номер 8.36, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.36, страница 49.

8.36. a) $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$;

б) $\frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a + 1}{a^2 - 4a + 3}$.

а)

Упростим данное выражение: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $.

Для начала преобразуем знаменатель третьей дроби, вынеся за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$: $ a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $.

Общим знаменателем для всех дробей является выражение $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. Приведем все дроби к этому знаменателю.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, получаем: $ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{(a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $a^{\frac{1}{2}}$. Получаем: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $.

Теперь выполним вычитание и сложение дробей с одинаковыми знаменателями: $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{(a - b) - a + b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $.

Упростим числитель полученной дроби: $ a - b - a + b = 0 $.

Таким образом, значение всего выражения равно нулю (при допустимых значениях переменных $a > 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$).

Ответ: $0$

б)

Упростим выражение: $ \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a+1}{a^2 - 4a + 3} $.

Преобразуем каждую дробь по отдельности.

1. Упростим первую дробь. Вынесем в знаменателе общий множитель $a^{-\frac{1}{3}}$: $ \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{-\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}-(-\frac{1}{3})} - 3)} = \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{-\frac{1}{3}}(a^1 - 3)} = \frac{2}{a - 3} $.

2. Упростим вторую дробь. Вынесем в знаменателе общий множитель $a^{\frac{2}{3}}$: $ \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} - 1)} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^1 - 1)} = \frac{1}{a - 1} $.

3. Упростим третью дробь. Разложим на множители квадратичный знаменатель $a^2 - 4a + 3$. Корнями соответствующего уравнения $a^2 - 4a + 3 = 0$ являются $a_1=1$ и $a_2=3$. Значит, $a^2 - 4a + 3 = (a - 1)(a - 3)$. Таким образом, третья дробь равна $ \frac{a+1}{(a - 1)(a - 3)} $.

Подставим упрощенные дроби обратно в исходное выражение: $ \frac{2}{a - 3} - \frac{1}{a - 1} - \frac{a+1}{(a - 1)(a - 3)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(a - 1)(a - 3)$: $ \frac{2(a - 1)}{(a - 1)(a - 3)} - \frac{1(a - 3)}{(a - 1)(a - 3)} - \frac{a+1}{(a - 1)(a - 3)} $.

Выполним действия с числителями, объединив их под одной дробной чертой: $ \frac{2(a - 1) - (a - 3) - (a + 1)}{(a - 1)(a - 3)} = \frac{2a - 2 - a + 3 - a - 1}{(a - 1)(a - 3)} $.

Упростим выражение в числителе, сгруппировав подобные слагаемые: $ (2a - a - a) + (-2 + 3 - 1) = 0a + 0 = 0 $.

В результате получаем ноль (при допустимых значениях переменной $a > 0$, $a \ne 1$, $a \ne 3$).

Ответ: $0$