Номер 9.4, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.4, страница 50.

9.4. Исследуйте степенную функцию на чётность:

а) $y = x^{10}$;

б) $y = x^{-\frac{1}{3}};$

в) $y = x^{-15};$

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$.

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо выполнить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является нечётной.
   Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

а) $y = x^{10}$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^{10} = x^{10}$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

б) $y = x^{-1/3}$

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.
Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. То есть, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{-x}} = \frac{1}{-\sqrt[3]{x}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

в) $y = x^{-15}$

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{15}}$.
Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. То есть, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^{-15} = \frac{1}{(-x)^{15}} = \frac{1}{-x^{15}} = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

г) $y = x^{4/3}$

Представим функцию в виде $y = \sqrt[3]{x^4}$ или $y = (\sqrt[3]{x})^4$.
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля, так как корень нечётной степени извлекается из любого действительного числа.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^{4/3} = \sqrt[3]{(-x)^4} = \sqrt[3]{x^4} = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.