Номер 9.1, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.1, страница 49.

9.1. Постройте график функции:

а) $y = x^{10}$;

б) $y = x^{\frac{1}{4}}$;

в) $y = x^{-\frac{1}{2}}$;

г) $y = x^{-4}.$

а) $y = x^{10}$

Это степенная функция вида $y = x^p$ с показателем $p = 10$. Так как показатель является четным натуральным числом, график этой функции имеет следующие свойства:

1. Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как любое число можно возвести в десятую степень.

2. Область значений: так как показатель степени четный, $x^{10} \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Четность: функция является четной, поскольку $y(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

4. Ключевые точки:
- График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$, так как $0^{10} = 0$.
- График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$, так как $1^{10} = 1$ и $(-1)^{10} = 1$.
- При $x \in (-1, 1)$, значения $y$ очень малы. Например, при $x = 0.5$, $y = (0.5)^{10} = 1/1024$. Это значит, что вблизи нуля график "прижимается" к оси абсцисс.
- При $|x| > 1$, значения $y$ очень быстро растут. Например, при $x = 2$, $y = 2^{10} = 1024$. Это значит, что ветви графика круто уходят вверх.

Построение графика: График похож на параболу $y = x^2$, но имеет более плоское "дно" в интервале $(-1, 1)$ и более крутые ветви при $|x| > 1$. Это U-образная кривая, симметричная относительно оси Oy, проходящая через точки $(-1; 1), (0; 0), (1; 1)$.

Ответ: График функции $y=x^{10}$ — это кривая, похожая на параболу, симметричная относительно оси Oy. Она проходит через точки $(0;0)$, $(1;1)$ и $(-1;1)$. По сравнению с параболой $y=x^2$, график $y=x^{10}$ более плоский вблизи нуля и растет гораздо быстрее при $|x|>1$.

б) $y = x^{\frac{1}{4}}$

Эту функцию можно записать в виде $y = \sqrt[4]{x}$. Это степенная функция $y = x^p$ с дробным показателем $p = 1/4$.

1. Область определения: корень четной степени (в данном случае четвертой) определен только для неотрицательных чисел. Поэтому область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: арифметический корень всегда неотрицателен, поэтому область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Свойства: функция не является ни четной, ни нечетной, так как определена только для $x \ge 0$. Весь график лежит в первой координатной четверти.

4. Ключевые точки:
- График начинается в точке $(0; 0)$, так как $\sqrt[4]{0} = 0$.
- График проходит через точку $(1; 1)$, так как $\sqrt[4]{1} = 1$.
- Для удобства построения можно взять точки, из которых легко извлекается корень четвертой степени: при $x = 16$, $y = \sqrt[4]{16} = 2$.
- Функция возрастает на всей области определения.

Построение графика: График представляет собой ветвь, выходящую из начала координат и идущую вправо и вверх. Кривая является выпуклой вверх (вогнутой). Рост функции замедляется по мере увеличения $x$. График функции $y=x^{1/4}$ является графиком функции $x=y^4$ для $y \ge 0$. Это похоже на "лежачую" параболу, у которой взята только верхняя ветвь.

Ответ: График функции $y=x^{\frac{1}{4}}$ — это ветвь кривой, расположенная в первой координатной четверти. Она начинается в точке $(0;0)$, проходит через точку $(1;1)$ и $(16;2)$. Кривая возрастает, но медленнее, чем больше $x$. График является выпуклым вверх.

в) $y = x^{\frac{1}{2}}$

Эту функцию можно записать в виде $y = \sqrt{x}$. Это степенная функция $y = x^p$ с дробным показателем $p = 1/2$.

1. Область определения: квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Поэтому область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Свойства: функция не является ни четной, ни нечетной. Весь график расположен в первой координатной четверти.

4. Ключевые точки:
- График начинается в точке $(0; 0)$, так как $\sqrt{0} = 0$.
- График проходит через точку $(1; 1)$, так как $\sqrt{1} = 1$.
- Удобные точки для построения: $(4; 2)$, так как $\sqrt{4} = 2$; $(9; 3)$, так как $\sqrt{9} = 3$.
- Функция является возрастающей на всей области определения.

Построение графика: График представляет собой верхнюю половину параболы $x = y^2$, которая "лежит на боку" и открывается вправо. Кривая выходит из начала координат и плавно поднимается вверх и вправо. Она также выпукла вверх (вогнута). По сравнению с графиком $y=x^{1/4}$, этот график растет быстрее.

Ответ: График функции $y=x^{\frac{1}{2}}$ (или $y=\sqrt{x}$) — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0;0)$, проходит через точки $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$ и расположен в первой координатной четверти.

г) $y = x^{-4}$

Эту функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^4}$. Это степенная функция $y = x^p$ с целым отрицательным показателем $p = -4$.

1. Область определения: знаменатель дроби не может быть равен нулю, т.е. $x^4 \ne 0$, откуда $x \ne 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: поскольку $x^4 > 0$ для всех $x \ne 0$, то и $y = \frac{1}{x^4} > 0$. Таким образом, область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy). При $x \to 0$ (справа или слева), $x^4 \to 0^+$, а $y \to +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox). При $x \to \pm\infty$, $x^4 \to +\infty$, а $y \to 0^+$.

5. Ключевые точки:
- График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$, так как $1^{-4}=1$ и $(-1)^{-4}=1$.
- При $x=2$, $y = 2^{-4} = 1/16$. При $x=-2$, $y = (-2)^{-4} = 1/16$.
- При $x=1/2$, $y = (1/2)^{-4} = 16$. При $x=-1/2$, $y = (-1/2)^{-4} = 16$.

Построение графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ветви симметричны относительно оси Oy. В первой четверти кривая проходит через точку $(1;1)$, приближаясь к оси Oy при $x \to 0^+$ и к оси Ox при $x \to +\infty$. Вторая ветвь во второй четверти является ее зеркальным отражением.

Ответ: График функции $y=x^{-4}$ состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальной асимптотой. График проходит через точки $(1;1)$ и $(-1;1)$.