Номер 8.31, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.31, страница 48.

Упростите выражение:

8.31. a) $(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}};$

б) $(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}};$

в) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}};$

г) $\sqrt{b} + \sqrt{c} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2.$

а) Чтобы упростить выражение $(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем скобки в выражении:
$(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}} = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{2}} + (c^{\frac{1}{2}})^2) - 2c^{\frac{1}{2}}$
Упростим полученное выражение:
$1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c - 2c^{\frac{1}{2}}$
Приведем подобные слагаемые ($2c^{\frac{1}{2}}$ и $-2c^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются):
$1 + c$
Ответ: $1 + c$.

б) Чтобы упростить выражение $(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}}$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Раскроем скобки:
$(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}} = ((m^{\frac{1}{4}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{3}} + (m^{\frac{1}{3}})^2) + 2m^{\frac{7}{12}}$
Применим свойства степеней: $(a^n)^k = a^{nk}$ и $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$.
$(m^{\frac{1}{4}})^2 = m^{\frac{1}{4} \cdot 2} = m^{\frac{1}{2}}$
$m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = m^{\frac{3}{12} + \frac{4}{12}} = m^{\frac{7}{12}}$
$(m^{\frac{1}{3}})^2 = m^{\frac{1}{3} \cdot 2} = m^{\frac{2}{3}}$
Подставим полученные значения в выражение:
$m^{\frac{1}{2}} - 2m^{\frac{7}{12}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}}$
Приведем подобные слагаемые ($-2m^{\frac{7}{12}}$ и $2m^{\frac{7}{12}}$ взаимно уничтожаются):
$m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}$.

в) Чтобы упростить выражение $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Раскроем скобки:
$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = ((x^{\frac{1}{2}})^2 - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2) + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$
Упростим степени:
$x - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$
Приведем подобные слагаемые ($-2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ и $2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются):
$x + y$
Ответ: $x + y$.

г) Чтобы упростить выражение $\sqrt{b} + \sqrt{c} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2$, сначала представим корни в виде степеней: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{c} = c^{\frac{1}{2}}$.
Выражение примет вид: $b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - ((b^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot b^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} + (c^{\frac{1}{4}})^2)$
Упростим степени в скобках:
$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{2}})$
Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:
$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}}$
Приведем подобные слагаемые: $b^{\frac{1}{2}}$ и $-b^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются, так же как и $c^{\frac{1}{2}}$ и $-c^{\frac{1}{2}}$.
$-2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}}$
Ответ: $-2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}}$.