Номер 8.35, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.35, страница 49.

8.35. a) $\frac{a^{3/2} - b^{3/2}}{a^{1/2} + b^{1/2}} \cdot \frac{a - b}{a + a^{1/2}b^{1/2} + b} + 2a^{1/2}b^{1/2};$

б) $\left(\frac{q^{1/2}}{p - p^{1/2}q^{1/2}} + \frac{p^{1/2}}{q - p^{1/2}q^{1/2}}\right) \cdot \frac{pq^{1/2} + p^{1/2}q}{p - q}.$

а) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним умножение дробей:

$ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a - b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Для упрощения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Числитель первой дроби является разностью кубов, а числитель второй дроби — разностью квадратов:

$a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$

$a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Подставим эти выражения в исходное произведение:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях: $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$ и $(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$. Получим:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 = a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b $

Теперь добавим оставшийся член из исходного выражения:

$ (a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a + b $

Ответ: $a+b$

б) Решим по действиям. Сначала упростим выражение в скобках:

$ \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} $

Вынесем общие множители в знаменателях:

$ p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $

$ q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = q^{\frac{1}{2}}(q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}) = -q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $

Приведем дроби к общему знаменателю $p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})$:

$ \frac{q^{\frac{1}{2}} \cdot q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} - \frac{p^{\frac{1}{2}} \cdot p^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q - p}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} $

Разложим числитель $q-p = -(p-q) = -(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})$ и сократим дробь:

$ \frac{-(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} $

Теперь упростим вторую дробь:

$ \frac{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q}{p - q} = \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} = \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} $

Перемножим полученные выражения:

$ \left(-\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} = -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} = \frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}} $

Ответ: $\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}}$