Номер 9.2, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.2, страница 49.

9.2. Постройте и сравните графики функций:

а) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}};

б) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$.

а) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень из $x$) и функция $y = x^{\frac{1}{3}}$ (степенная функция с рациональным показателем) являются двумя разными записями одной и той же функции.

Рассмотрим свойства этой функции:

• Область определения: Кубический корень определен для любых действительных чисел, так как можно извлечь корень нечетной степени из отрицательного числа. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Множество значений функции также охватывает все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

$x$	-8	-1	0	1	8
$y = \sqrt[3]{x}$	-2	-1	0	1	2

График функции проходит через начало координат. Он похож на график функции $y=x^3$, но повернут на 90 градусов и отражен относительно оси $y$.

Сравнение: Поскольку обе записи, $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$, определяют одну и ту же функцию для всех действительных чисел $x$, их графики полностью совпадают.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ полностью совпадают.

---

б) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$

Функция $y = \sqrt[4]{x}$ (арифметический корень четвертой степени из $x$) и функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ (степенная функция с рациональным показателем) также являются двумя записями одной и той же функции.

Рассмотрим свойства этой функции:

• Область определения: Корень четной степени (в данном случае, четвертой) определен только для неотрицательных чисел, так как в действительных числах нельзя получить отрицательное число при возведении в четную степень. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$. По определению, степенная функция $y=x^a$ с дробным показателем $a$ также определена для $x \ge 0$.
• Область значений: Арифметический корень всегда неотрицателен. Множество значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

$x$	0	1	16
$y = \sqrt[4]{x}$	0	1	2

График функции начинается в точке $(0, 0)$ и располагается в первой координатной четверти. Он представляет собой ветвь, похожую на параболу, "лежащую на боку".

Сравнение: Обе записи, $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$, по определению задают одну и ту же функцию на области определения $x \ge 0$. Следовательно, их графики полностью идентичны.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ полностью совпадают.