Номер 8.33, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.33, страница 48.

8.33. a) $(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1);$

б) $(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}).$

а)

Для упрощения данного выражения будем последовательно применять формулу разности квадратов: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $.

1. Рассмотрим первые два множителя: $ (x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1) $. Это как раз форма разности квадратов, где $ a = x^{\frac{1}{4}} $ и $ b = 1 $.

Применяем формулу:

$ (x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1) = (x^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 $

При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

$ (x^{\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{1}{4} \cdot 2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} $

Таким образом, произведение первых двух скобок равно $ x^{\frac{1}{2}} - 1 $.

2. Теперь исходное выражение принимает вид:

$ (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1) $

3. Мы снова получили выражение, соответствующее формуле разности квадратов, где $ a = x^{\frac{1}{2}} $ и $ b = 1 $.

Применяем формулу еще раз:

$ (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1) = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 = x^1 - 1 = x - 1 $.

Ответ: $x-1$.

б)

В этом выражении также будем использовать формулу разности квадратов $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $. Удобнее начать с последних двух множителей.

1. Рассмотрим произведение $ (k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}) $. Это разность квадратов, где $ a = k^{\frac{1}{8}} $ и $ b = l^{\frac{1}{8}} $.

Применяем формулу:

$ (k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}) = (k^{\frac{1}{8}})^2 - (l^{\frac{1}{8}})^2 $

Используя правило возведения степени в степень, получаем:

$ (k^{\frac{1}{8}})^2 = k^{\frac{1}{8} \cdot 2} = k^{\frac{2}{8}} = k^{\frac{1}{4}} $

$ (l^{\frac{1}{8}})^2 = l^{\frac{1}{8} \cdot 2} = l^{\frac{2}{8}} = l^{\frac{1}{4}} $

Произведение последних двух скобок равно $ k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}} $.

2. Подставим этот результат в исходное выражение. Оно примет вид:

$ (k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}}) $

3. Снова применяем формулу разности квадратов, где теперь $ a = k^{\frac{1}{4}} $ и $ b = l^{\frac{1}{4}} $:

$ (k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}}) = (k^{\frac{1}{4}})^2 - (l^{\frac{1}{4}})^2 = k^{\frac{1}{4} \cdot 2} - l^{\frac{1}{4} \cdot 2} = k^{\frac{2}{4}} - l^{\frac{2}{4}} = k^{\frac{1}{2}} - l^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $k^{\frac{1}{2}} - l^{\frac{1}{2}}$.