Номер 8.27, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.27, страница 47.

8.27. а) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2$;

б) $(1 + c^{\frac{1}{3}})^2$;

в) $(1 - b^{\frac{1}{2}})^2$;

г) $(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}})^2$.

а) Для раскрытия скобок в выражении $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.
Подставляем наши значения в формулу:
$(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2$
Применим свойство степени $(a^p)^q = a^{pq}$:
$(m^{\frac{1}{2}})^2 = m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^1 = m$
$(n^{\frac{1}{2}})^2 = n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^1 = n$
Таким образом, выражение упрощается до:
$m + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$
Ответ: $m + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$

б) Используем ту же формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для выражения $(1 + c^{\frac{1}{3}})^2$. Здесь $x = 1$ и $y = c^{\frac{1}{3}}$.
Подставим значения в формулу:
$(1 + c^{\frac{1}{3}})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{3}} + (c^{\frac{1}{3}})^2$
Упростим каждый член:
$1^2 = 1$
$(c^{\frac{1}{3}})^2 = c^{\frac{1}{3} \cdot 2} = c^{\frac{2}{3}}$
Получаем итоговое выражение:
$1 + 2c^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $1 + 2c^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{2}{3}}$

в) Для выражения $(1 - b^{\frac{1}{2}})^2$ применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = 1$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.
Подставляем наши значения:
$(1 - b^{\frac{1}{2}})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2$
Упрощаем:
$1^2 = 1$
$(b^{\frac{1}{2}})^2 = b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = b^1 = b$
В результате получаем:
$1 - 2b^{\frac{1}{2}} + b$
Ответ: $1 - 2b^{\frac{1}{2}} + b$

г) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}})^2$ снова используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 2b^{\frac{1}{2}}$.
Подставим значения в формулу:
$(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (2b^{\frac{1}{2}}) + (2b^{\frac{1}{2}})^2$
Упростим каждый член по отдельности:
$(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$
$2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (2b^{\frac{1}{2}}) = 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$
$(2b^{\frac{1}{2}})^2 = 2^2 \cdot (b^{\frac{1}{2}})^2 = 4 \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4b$
Соберем все члены вместе:
$a + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 4b$
Ответ: $a + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 4b$