Номер 8.22, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.22, страница 47.

8.22. a) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$;

б) $y^{\frac{7}{3}} : \sqrt[3]{y^2}$;

В) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$;

Г) $\sqrt[4]{c^3} : c^{\frac{1}{4}}$.

а) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$
Для решения этого примера представим корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.
Теперь выражение выглядит так:
$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x$
Ответ: $x$

б) $y^{\frac{7}{3}} : \sqrt[3]{y^2}$
Сначала представим корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, следовательно, $\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}$.
Теперь выполним деление:
$y^{\frac{7}{3}} : y^{\frac{2}{3}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).
$y^{\frac{7}{3} - \frac{2}{3}} = y^{\frac{7-2}{3}} = y^{\frac{5}{3}}$
Ответ: $y^{\frac{5}{3}}$

в) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$
Представим корень $\sqrt[4]{z}$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[4]{z} = z^{\frac{1}{4}}$.
Теперь умножим степени:
$z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{1}{4}}$
Складываем показатели степеней с одинаковым основанием:
$z^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = z^{\frac{3+1}{4}} = z^{\frac{4}{4}} = z^1 = z$
Ответ: $z$

г) $\sqrt[4]{c^3} : c^{\frac{1}{4}}$
Представим корень $\sqrt[4]{c^3}$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[4]{c^3} = c^{\frac{3}{4}}$.
Теперь выполним деление степеней:
$c^{\frac{3}{4}} : c^{\frac{1}{4}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$c^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = c^{\frac{3-1}{4}} = c^{\frac{2}{4}} = c^{\frac{1}{2}}$
Ответ: $c^{\frac{1}{2}}$