Номер 8.16, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.16, страница 46.

8.16. a) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 81^{\frac{1}{2}} \cdot 125^{\frac{1}{3}};$

б) $49^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{7})^{-2} + 2^{-1} \cdot (-2)^{-2};$

в) $216^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{6})^{-2} - 5^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}};$

г) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}};$

a) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 81^{\frac{1}{2}} \cdot 125^{-\frac{1}{3}}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

1. Вычислим значение первого множителя: $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

2. Вычислим значение второго множителя: $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

3. Вычислим значение уменьшаемого: $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.

4. Вычислим значение вычитаемого: $125^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{125})^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$. Альтернативно, $125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним действия:

$(2 \cdot 5) - (9 \cdot \frac{1}{5}) = 10 - \frac{9}{5} = 10 - 1.8 = 8.2$.

Ответ: $8.2$

б) $49^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{7})^{-2} + 2^{-1} \cdot (-2)^{-2}$

Разберем выражение на части и вычислим каждую из них.

1. $49^{-\frac{1}{2}} = (7^2)^{-\frac{1}{2}} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

2. $(\frac{1}{7})^{-2} = (7^{-1})^{-2} = 7^2 = 49$.

3. $2^{-1} = \frac{1}{2}$.

4. $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.

Подставим вычисленные значения в выражение:

$(\frac{1}{7} \cdot 49) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}) = \frac{49}{7} + \frac{1}{8} = 7 + \frac{1}{8} = 7 + 0.125 = 7.125$.

Ответ: $7.125$

в) $216^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{6})^{-2} - 5^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}}$

Вычислим по частям, используя свойства степеней.

1. $216^{-\frac{1}{3}} = (6^3)^{-\frac{1}{3}} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

2. $(\frac{1}{6})^{-2} = (6^{-1})^{-2} = 6^2 = 36$.

3. $5^{-1} = \frac{1}{5}$.

4. $(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = (25^{\frac{1}{2}}) = \sqrt{25} = 5$.

Подставим значения в исходное выражение:

$(\frac{1}{6} \cdot 36) - (\frac{1}{5} \cdot 5) = \frac{36}{6} - \frac{5}{5} = 6 - 1 = 5$.

Ответ: $5$

г) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{3}}$

Вычислим по частям, соблюдая порядок действий.

1. $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

2. $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$.

3. $2^{-1} = \frac{1}{2}$.

4. $(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

5. $8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Подставим полученные значения в выражение:

$(2 \cdot 4) - (\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}) = 8 - \frac{5}{4} = 8 - 1.25 = 6.75$.

Ответ: $6.75$