Номер 8.12, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.12, страница 45.

8.12. а) $4^{-\frac{1}{2}}$;

б) $8^{-\frac{1}{3}}$;

в) $32^{-\frac{1}{5}}$;

г) $16^{-\frac{1}{4}}$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $4^{-\frac{1}{2}}$, можно использовать два основных свойства степеней: свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и свойство степени с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Способ 1: Использование определения корня.

Сначала применим свойство отрицательной степени:

$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$

Теперь преобразуем степень с дробным показателем в корень. Показатель $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:

$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, получаем:

$\frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$

Способ 2: Представление основания в виде степени.

Представим основание 4 как степень числа 2, то есть $4 = 2^2$.

$4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В этом случае показатели степеней перемножаются:

$(2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{-1}$

Теперь применим правило для отрицательной степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Для вычисления выражения $8^{-\frac{1}{3}}$ представим основание 8 в виде степени. Так как $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$, то мы можем записать:

$8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножим показатели:

$(2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{-1}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем конечный результат:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в)

Чтобы вычислить значение выражения $32^{-\frac{1}{5}}$, представим основание 32 как степень числа 2. Мы знаем, что $2^5 = 32$.

Подставим это в наше выражение:

$32^{-\frac{1}{5}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}}$

Применяя правило возведения степени в степень, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножим показатели:

$(2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{1}{5})} = 2^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$, находим результат:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г)

Для вычисления $16^{-\frac{1}{4}}$ представим число 16 в виде степени. Поскольку $2^4 = 16$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$16^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{-\frac{1}{4}}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для умножения показателей:

$(2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^{-1}$

Наконец, применяем правило для отрицательной степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$