Номер 8.17, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.17, страница 46.

8.17. a) $\left(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1} - \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3}\right) : 49^{-\frac{1}{2}};$

б) $\frac{8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}} - 2^{-1}}{64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}.$

а) $ \left( \left( \frac{1}{25} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1} - \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3} \right) : 49^{-\frac{1}{2}} $

Решим по действиям, используя свойства степеней $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $, $ a^{-n} = 1/a^n $ и $ a^{1/n} = \sqrt[n]{a} $.

1. Вычислим первое произведение в скобках: $ \left( \frac{1}{25} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1} $.
$ \left( \frac{1}{25} \right)^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 $.
$ 7^{-1} = \frac{1}{7} $.
Результат первого действия: $ 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7} $.

2. Вычислим второе произведение в скобках: $ \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3} $.
$ \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 $.
$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $.
Результат второго действия: $ 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $.

3. Выполним вычитание в скобках: $ \frac{5}{7} - \frac{1}{4} $.
Приводим дроби к общему знаменателю 28:
$ \frac{5 \cdot 4}{28} - \frac{1 \cdot 7}{28} = \frac{20 - 7}{28} = \frac{13}{28} $.

4. Вычислим делитель: $ 49^{-\frac{1}{2}} $.
$ 49^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{49^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7} $.

5. Выполним деление: $ \frac{13}{28} : \frac{1}{7} $.
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$ \frac{13}{28} \cdot \frac{7}{1} = \frac{13 \cdot 7}{28} = \frac{13}{4} $.

Ответ: $ \frac{13}{4} $.

б) $ \frac{8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}} - 2^{-1}}{64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} $

Сначала вычислим значение числителя: $ 8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}} - 2^{-1} $.
$ 8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2} $.
$ 25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} $.
$ 2^{-1} = \frac{1}{2} $.
Подставляем значения в числитель: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} $.

Теперь вычислим значение знаменателя: $ 64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} $.
Представим $ 64 $ как степень числа $ 2 $: $ 64 = 2^6 $.
$ 64^{\frac{1}{4}} = (2^6)^{\frac{1}{4}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} $.
Теперь перемножим степени с одинаковым основанием: $ 2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^2 = 4 $.

Наконец, разделим числитель на знаменатель: $ \frac{-\frac{2}{5}}{4} $.
$ -\frac{2}{5} : 4 = -\frac{2}{5 \cdot 4} = -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10} = -0,1 $.

Ответ: $ -0,1 $.