Номер 8.14, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.14, страница 46.

8.14. a) $4^{0.4} \cdot 2^{-0.4} : 2^{-0.6}$;

б) $3 \cdot 9^{0.4} : \sqrt[5]{3^{-1}}$;

в) $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{1\frac{2}{3}} : 4^{-\frac{1}{3}}$;

г) $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} : \sqrt[3]{2}$.

а) Для решения этого примера приведем все степени к одному основанию, в данном случае к 2. Число 4 можно представить как $2^2$.

Исходное выражение: $4^{0,4} \cdot 2^{-0,4} : 2^{-0,6}$

Заменим $4^{0,4}$ на $(2^2)^{0,4}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^2)^{0,4} = 2^{2 \cdot 0,4} = 2^{0,8}$.

Теперь выражение выглядит так: $2^{0,8} \cdot 2^{-0,4} : 2^{-0,6}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$). Следовательно:

$2^{0,8 + (-0,4) - (-0,6)} = 2^{0,8 - 0,4 + 0,6} = 2^{1} = 2$.

Ответ: 2

б) Приведем все члены выражения к основанию 3. Число 9 это $3^2$, а корень пятой степени из $3^{-1}$ можно записать в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Исходное выражение: $3 \cdot 9^{0,4} : \sqrt[5]{3^{-1}}$

Представим каждый член выражения в виде степени с основанием 3:

$3 = 3^1$

$9^{0,4} = (3^2)^{0,4} = 3^{2 \cdot 0,4} = 3^{0,8}$

$\sqrt[5]{3^{-1}} = 3^{-\frac{1}{5}} = 3^{-0,2}$

Подставим полученные значения в исходное выражение: $3^1 \cdot 3^{0,8} : 3^{-0,2}$.

Используем свойства степеней:

$3^{1 + 0,8 - (-0,2)} = 3^{1 + 0,8 + 0,2} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

в) Приведем все степени к основанию 2. Число 4 это $2^2$. Смешанную дробь в показателе степени $1\frac{2}{3}$ переведем в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Исходное выражение: $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{1\frac{2}{3}} : 4^{-\frac{1}{3}}$

Заменяем члены выражения, где основание равно 4:

$4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

$4^{-\frac{1}{3}} = (2^2)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

Выражение принимает вид: $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : 2^{-\frac{2}{3}}$.

Применяем правила действий со степенями с одинаковым основанием:

$2^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3} - (-\frac{2}{3})} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3} + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2+5+2}{3}} = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

г) Приведем все члены выражения к основанию 2. Число 8 это $2^3$, число 16 это $2^4$, а кубический корень из 2 ($\sqrt[3]{2}$) это $2^{\frac{1}{3}}$.

Исходное выражение: $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} : \sqrt[3]{2}$

Заменяем члены выражения на степени с основанием 2:

$8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{-1}$

$16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$

Выражение принимает вид: $2^{-1} \cdot 2^{\frac{4}{3}} : 2^{\frac{1}{3}}$.

Применяем свойства степеней:

$2^{-1 + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{-1 + \frac{4-1}{3}} = 2^{-1 + \frac{3}{3}} = 2^{-1 + 1} = 2^0 = 1$. (Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1).

Ответ: 1