Номер 8.9, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.9, страница 45.

8.9. a) $9^{2\frac{1}{2}}$;

б) $0,16^{1\frac{1}{2}};$

в) $(3\frac{3}{8})^{\frac{4}{3}};$

г) $0,001^{\frac{2}{3}}.$

a) Чтобы вычислить значение выражения $9^{2\frac{1}{2}}$, первым шагом преобразуем смешанный показатель степени в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
Теперь исходное выражение можно записать как $9^{\frac{5}{2}}$.
Представим основание 9 в виде степени: $9 = 3^2$.
Подставим это в выражение: $(3^2)^{\frac{5}{2}}$.
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $3^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 3^5$.
Вычислим $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Ответ: 243

б) Чтобы вычислить $0,16^{1\frac{1}{2}}$, сначала преобразуем показатель степени из смешанного числа в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Выражение принимает вид $0,16^{\frac{3}{2}}$.
Представим основание 0,16 как квадрат числа: $0,16 = 0,4^2$.
Подставим это в выражение: $(0,4^2)^{\frac{3}{2}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим: $0,4^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 0,4^3$.
Вычислим $0,4^3$: $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.
Ответ: 0,064

в) Рассмотрим выражение $(3\frac{3}{8})^{\frac{4}{3}}$.
Сначала преобразуем смешанное число в основании в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Теперь выражение выглядит так: $(\frac{27}{8})^{\frac{4}{3}}$.
Воспользуемся свойством дробной степени $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. В данном случае $n=3$, $m=4$. $(\frac{27}{8})^{\frac{4}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\right)^4$.
Вычислим кубический корень: $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.
Теперь возведем полученный результат в четвертую степень: $\left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.
Ответ: $\frac{81}{16}$

г) Рассмотрим выражение $0,001^{\frac{2}{3}}$.
Представим десятичную дробь 0,001 в виде степени: $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = (\frac{1}{10})^3 = 0,1^3$.
Подставим это в исходное выражение: $(0,1^3)^{\frac{2}{3}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $0,1^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 0,1^2$.
Вычислим $0,1^2$: $0,1^2 = 0,01$.
Ответ: 0,01