Номер 8.4, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.4, страница 45.

8.4. а) $0,2^{0,5}$;

б) $t^{0,8}$;

в) $b^{1,5}$;

г) $8,5^{0,6}$.

а) Чтобы представить степень с десятичным показателем $0,2^{0,5}$ в виде корня, необходимо сначала преобразовать показатель степени из десятичной дроби в обыкновенную.
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
Теперь воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ — целое число, $n$ — натуральное число.
В нашем случае $a = 0,2$, $m = 1$, $n = 2$.
$0,2^{0,5} = 0,2^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{0,2^1} = \sqrt{0,2}$
Ответ: $\sqrt{0,2}$.

б) Для представления выражения $t^{0,8}$ в виде корня, преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь.
$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Применяя свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, при условии что основание степени неотрицательно ($t \ge 0$), получаем:
$t^{0,8} = t^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{t^4}$
Ответ: $\sqrt[5]{t^4}$.

в) Чтобы представить степень $b^{1,5}$ в виде корня, преобразуем десятичный показатель в смешанную, а затем в неправильную дробь.
$1,5 = 1 \frac{5}{10} = 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $b \ge 0$, так как корень четной степени извлекается из неотрицательного числа), получаем:
$b^{1,5} = b^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{b^3} = \sqrt{b^3}$
Это выражение также можно упростить, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2 \cdot b} = b\sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{b^3}$.

г) Представим степень с десятичным показателем $8,5^{0,6}$ в виде корня. Сначала преобразуем показатель степени $0,6$ в обыкновенную дробь.
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$8,5^{0,6} = 8,5^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{(8,5)^3}$
Ответ: $\sqrt[5]{(8,5)^3}$.