Номер 7.53, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.53, страница 44.

• 7.53. Докажите тождество:

a) $\sqrt[4]{6a(5 + 2\sqrt{6})} \cdot \sqrt{3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a}} = \sqrt{6a};$

б) $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{8 + 2\sqrt{15}} - \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{\sqrt{20} + \sqrt{12}} \cdot \sqrt[6]{8 - 2\sqrt{15}} - 2\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4}}{2 - a}.$

a)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как $L$.

$L = \sqrt[4]{6a(5 + 2\sqrt{6})} \cdot \sqrt{3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a}}$

Чтобы перемножить корни, необходимо привести их к одному показателю. Приведем оба множителя к корню 4-й степени. Для этого возведем подкоренное выражение второго множителя в квадрат:

$\sqrt{3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a}} = \sqrt[4]{(3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a})^2}$

Раскроем квадрат под корнем, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a})^2 = (3\sqrt{2a})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2a} \cdot 2\sqrt{3a} + (2\sqrt{3a})^2$

$= 9 \cdot 2a - 12\sqrt{6a^2} + 4 \cdot 3a = 18a - 12a\sqrt{6} + 12a = 30a - 12a\sqrt{6}$

Вынесем общий множитель $6a$ за скобки:

$30a - 12a\sqrt{6} = 6a(5 - 2\sqrt{6})$

Теперь левая часть тождества имеет вид:

$L = \sqrt[4]{6a(5 + 2\sqrt{6})} \cdot \sqrt[4]{6a(5 - 2\sqrt{6})}$

Объединим выражения под одним знаком корня:

$L = \sqrt[4]{6a(5 + 2\sqrt{6}) \cdot 6a(5 - 2\sqrt{6})} = \sqrt[4]{(6a)^2 (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})}$

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ для выражения в скобках:

$(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Подставим полученный результат обратно в выражение для $L$:

$L = \sqrt[4]{(6a)^2 \cdot 1} = \sqrt[4]{36a^2} = \sqrt[4]{(6a)^2} = (6a)^{2/4} = (6a)^{1/2} = \sqrt{6a}$

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано. Отметим, что все преобразования корректны при $a \ge 0$.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразование левой части: $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{8+2\sqrt{15}} - \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{\sqrt{20}+\sqrt{12}} \cdot \sqrt[6]{8-2\sqrt{15}} - 2\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2}}$

Сначала упростим числитель. Воспользуемся формулой сложного радикала или выделим полный квадрат: $8+2\sqrt{15} = 5 + 3 + 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$. Тогда:

$\sqrt[6]{8+2\sqrt{15}} = \sqrt[6]{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2} = (\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2/6} = (\sqrt{5}+\sqrt{3})^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Произведение в числителе: $\sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \sqrt[3]{5-3} = \sqrt[3]{2}$.

Таким образом, числитель равен: $\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a}$.

Теперь упростим знаменатель. Преобразуем подкоренные выражения в первом множителе:

$\sqrt{20}+\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 5}+\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{5}+2\sqrt{3} = 2(\sqrt{5}+\sqrt{3})$

Аналогично числителю, $8-2\sqrt{15} = (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2$, поэтому $\sqrt[6]{8-2\sqrt{15}} = \sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

Произведение в знаменателе: $\sqrt[3]{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5-3} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4}$.

Таким образом, знаменатель равен: $\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2}$. Это выражение является полным квадратом разности: $(\sqrt[3]{2})^2 - 2\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{a} + (\sqrt[3]{a})^2 = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})^2$.

Вся левая часть равна: $\frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a}}{(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a}}$ (при условии, что $a \neq 2$).

Преобразование правой части: $\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4}}{2-a}$

Разложим знаменатель $2-a$ по формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = \sqrt[3]{2}$ и $y = \sqrt[3]{a}$:

$2-a = (\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{a})^3 = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})((\sqrt[3]{2})^2 + \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{a} + (\sqrt[3]{a})^2) = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2})$.

Подставим разложение в правую часть: $\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4}}{(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2})}$.

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4})$, который не равен нулю:

$\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a}}$.

Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.