Номер 7.49, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.49, страница 44.

7.49. Решите уравнение:

а) $ \frac{x\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4; $

б) $ \frac{x + 8}{\sqrt[3]{x} + 2} + \frac{\sqrt[3]{x^2} - 25}{\sqrt[3]{x} + 5} = 5. $

а)

Исходное уравнение:

$$ \frac{x\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4 $$

Для упрощения введем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Тогда $y^2 = (\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$, $x = y^3$, и $x\sqrt[3]{x} = y^3 \cdot y = y^4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

1. $\sqrt[3]{x^2} - 1 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x^2} \neq 1 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. $\sqrt[3]{x} + 1 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x} \neq -1 \implies x \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 1$. В терминах переменной $y$: $y^2 \neq 1$ и $y \neq -1$, что эквивалентно $y \neq \pm 1$.

Подставим $y$ в уравнение:

$$ \frac{y^4 - 1}{y^2 - 1} - \frac{y^2 - 1}{y + 1} = 4 $$

Упростим дроби, используя формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$:

$$ \frac{(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{y^2 - 1} - \frac{(y - 1)(y + 1)}{y + 1} = 4 $$

Сокращаем дроби, так как $y \neq \pm 1$:

$$ (y^2 + 1) - (y - 1) = 4 $$

Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение:

$y^2 + 1 - y + 1 = 4$

$y^2 - y + 2 = 4$

$y^2 - y - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 1$, $y_1 \cdot y_2 = -2$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y \neq \pm 1$). Корень $y_2 = -1$ является посторонним. Единственный подходящий корень - $y_1 = 2$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = 2$

Возведем обе части в куб:

$x = 2^3 = 8$

Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: 8.

б)

Исходное уравнение:

$$ \frac{x + 8}{\sqrt[3]{x} + 2} + \frac{\sqrt[3]{x^2} - 25}{\sqrt[3]{x} + 5} = 5 $$

Введем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Тогда $x = y^3$ и $\sqrt[3]{x^2} = y^2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

1. $\sqrt[3]{x} + 2 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x} \neq -2 \implies x \neq -8$.

2. $\sqrt[3]{x} + 5 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x} \neq -5 \implies x \neq -125$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -8$ и $x \neq -125$. В терминах $y$: $y \neq -2$ и $y \neq -5$.

Подставим $y$ в уравнение:

$$ \frac{y^3 + 8}{y + 2} + \frac{y^2 - 25}{y + 5} = 5 $$

Упростим дроби, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ \frac{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}{y + 2} + \frac{(y - 5)(y + 5)}{y + 5} = 5 $$

Сокращаем дроби, так как $y \neq -2$ и $y \neq -5$:

$$ (y^2 - 2y + 4) + (y - 5) = 5 $$

Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение:

$y^2 - y - 1 = 5$

$y^2 - y - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 1$, $y_1 \cdot y_2 = -6$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y \neq -2$ и $y \neq -5$). Корень $y_2 = -2$ является посторонним, так как знаменатель первой дроби обращается в ноль. Единственный подходящий корень - $y_1 = 3$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = 3$

Возведем обе части в куб:

$x = 3^3 = 27$

Корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -8$ и $x \neq -125$).

Ответ: 27.