Номер 7.46, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.46, страница 43.

7.46. Выполните действия:

a) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a});$

б) $(\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}) : (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b});$

в) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n});$

г) $(\sqrt[3]{16x^2} - \sqrt[3]{25y^2}) : (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y}).$

а) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$

Сначала перемножим последние две скобки, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$. В нашем случае $x=1$ и $y=\sqrt[4]{a}$.

$(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}) = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{4}} = 1 - a^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{a}$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})$

Снова применяем формулу разности квадратов, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$:

$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a$.

Ответ: $1 - a$.

б) $(\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}) : (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$

Рассмотрим делимое: $\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}$. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{x}$ за скобки:

$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{9a^2} - 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2})$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности. Заметим, что $\sqrt[3]{9a^2} = (\sqrt[3]{3a})^2$, $\sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{b})^2$, а $2\sqrt[3]{3ab} = 2 \cdot \sqrt[3]{3a} \cdot \sqrt[3]{b}$. Таким образом, выражение в скобках равно $(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2$.

Делимое можно записать как $\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2$.

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b}}$

Сократив дробь на $(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$, получим:

$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$

Ответ: $\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$.

в) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})$

Начнем с умножения последних двух сомножителей, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt[4]{m}$ и $y=\sqrt[4]{n}$:

$(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) = (\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt[4]{n})^2 = \sqrt{m} - \sqrt{n}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})$

Еще раз применим формулу разности квадратов, теперь для $x=\sqrt{m}$ и $y=\sqrt{n}$:

$(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.

Ответ: $m - n$.

г) $(\sqrt[3]{16x^2} - \sqrt[3]{25y^2}) : (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})$

Преобразуем делимое. Заметим, что $\sqrt[3]{16x^2} = \sqrt[3]{(4x)^2} = (\sqrt[3]{4x})^2$ и $\sqrt[3]{25y^2} = \sqrt[3]{(5y)^2} = (\sqrt[3]{5y})^2$.

Таким образом, делимое можно записать в виде разности квадратов: $(\sqrt[3]{4x})^2 - (\sqrt[3]{5y})^2$.

Пусть $A = \sqrt[3]{4x}$ и $B = \sqrt[3]{5y}$. Тогда выражение принимает вид:

$(A^2 - B^2) : (A - B)$

Используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, получаем:

$\frac{(A-B)(A+B)}{A-B} = A+B$

Подставим обратно значения $A$ и $B$:

$\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$

Ответ: $\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$.