Номер 7.40, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.40, страница 42.

7.40. a) $\frac{3}{\sqrt{15}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-2}$;

б) $\frac{6}{\sqrt{10}-\sqrt{6}+5-\sqrt{15}}$.

a)

Упростим выражение $ \frac{3}{\sqrt{15} + \sqrt{10} - \sqrt{6} - 2} $.

Для упрощения, в первую очередь, преобразуем знаменатель. Разложим подкоренные выражения на множители и сгруппируем слагаемые:

$ \sqrt{15} + \sqrt{10} - \sqrt{6} - 2 = \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 2} $

$ = (\sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{2 \cdot 5}) - (\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}) = \sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $

Вынесем общий множитель $ (\sqrt{3} + \sqrt{2}) $ за скобки:

$ = (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$ \frac{3}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе (рационализировать знаменатель), домножим числитель и знаменатель на сопряженное к первому множителю выражение $ (\sqrt{5} + \sqrt{2}) $:

$ \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(5 - 2)(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $

Теперь домножим числитель и знаменатель полученной дроби на выражение $ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) $, сопряженное к новому знаменателю:

$ \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3-2} = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) $

Осталось раскрыть скобки:

$ (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{5}\sqrt{3} - \sqrt{5}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{2} = \sqrt{15} - \sqrt{10} + \sqrt{6} - 2 $

Ответ: $ \sqrt{15} - \sqrt{10} + \sqrt{6} - 2 $

б)

Упростим выражение $ \frac{6}{\sqrt{10} - \sqrt{6} + 5 - \sqrt{15}} $.

Преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители:

$ \sqrt{10} - \sqrt{6} + 5 - \sqrt{15} = (\sqrt{10} - \sqrt{6}) + (5 - \sqrt{15}) $

Разложим числа под корнями и число 5 на множители:

$ = (\sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 3}) + (\sqrt{5 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 3}) = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $

Вынесем общий множитель $ (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $ за скобки:

$ = (\sqrt{2} + \sqrt{5})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $

Исходное выражение примет вид:

$ \frac{6}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} $

Рационализируем знаменатель. Сначала домножим числитель и знаменатель на $ (\sqrt{5} - \sqrt{2}) $, сопряженное к первому множителю знаменателя:

$ \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(5 - 2)(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $

Теперь домножим числитель и знаменатель на $ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) $, сопряженное к оставшемуся знаменателю:

$ \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) $

Раскроем скобки:

$ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{5}\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{5} - \sqrt{2}\sqrt{3} = 5 + \sqrt{15} - \sqrt{10} - \sqrt{6} $

Ответ: $ 5 + \sqrt{15} - \sqrt{10} - \sqrt{6} $