Номер 7.37, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.37, страница 42.

7.37. a) $\frac{10}{\sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{7}}$;

б) $\frac{11}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}}$;

в) $\frac{4}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}$;

г) $\frac{3}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{6}}$.

a) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{10}{\sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{7}}$, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. В данном случае $a = \sqrt[3]{12}$ и $b = \sqrt[3]{7}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение для знаменателя, которым является неполный квадрат суммы: $(\sqrt[3]{12})^2 + \sqrt[3]{12}\sqrt[3]{7} + (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49}$.

$\frac{10}{\sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{7}} = \frac{10 \cdot (\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})}{(\sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{7}) \cdot (\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})} = \frac{10(\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})}{(\sqrt[3]{12})^3 - (\sqrt[3]{7})^3} = \frac{10(\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})}{12 - 7} = \frac{10(\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})}{5} = 2(\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})$.

Упростим корень в полученном выражении: $\sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{8 \cdot 18} = 2\sqrt[3]{18}$.

Подставим и раскроем скобки: $2(2\sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49}) = 4\sqrt[3]{18} + 2\sqrt[3]{84} + 2\sqrt[3]{49}$.

Ответ: $4\sqrt[3]{18} + 2\sqrt[3]{84} + 2\sqrt[3]{49}$.

б) Для дроби $\frac{11}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}}$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Здесь $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt[3]{6}$. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности: $(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{6} + (\sqrt[3]{6})^2 = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36}$.

$\frac{11}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}} = \frac{11 \cdot (\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})}{(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}) \cdot (\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})} = \frac{11(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{6})^3} = \frac{11(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})}{5 + 6} = \frac{11(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})}{11} = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36}$.

Корни в ответе не упрощаются, так как подкоренные выражения не содержат множителей в виде кубов целых чисел.

Ответ: $\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36}$.

B) Для дроби $\frac{4}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}$ применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. В данном случае $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{9}$. Сопряженное выражение для знаменателя: $(\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9} + (\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3}$.

$\frac{4}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} = \frac{4 \cdot (\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) \cdot (\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{9})^3} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})}{3+9} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})}{12} = \frac{\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3}}{3}$.

г) Для дроби $\frac{3}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{6}}$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Здесь $a = \sqrt[3]{15}$ и $b = \sqrt[3]{6}$. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы: $(\sqrt[3]{15})^2 + \sqrt[3]{15}\sqrt[3]{6} + (\sqrt[3]{6})^2 = \sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36}$.

$\frac{3}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{6}} = \frac{3 \cdot (\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})}{(\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{6}) \cdot (\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})} = \frac{3(\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})}{(\sqrt[3]{15})^3 - (\sqrt[3]{6})^3} = \frac{3(\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})}{15-6} = \frac{3(\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})}{9} = \frac{\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36}}{3}$.

Корни в числителе не упрощаются.

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36}}{3}$.