Номер 7.36, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.36, страница 42.

7.36. a) $\frac{7}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}};$

б) $\frac{2}{6 - 3\sqrt{2}};$

в) $\frac{17}{3\sqrt{2} + 1};$

г) $\frac{9}{\sqrt{7} - 2}.$

а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{7}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $ \sqrt{5} + 2\sqrt{3} $ является выражение $ \sqrt{5} - 2\sqrt{3} $. При умножении знаменателя на сопряженное ему выражение используется формула разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{7}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}} = \frac{7(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})}{(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})} = \frac{7\sqrt{5} - 14\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{7\sqrt{5} - 14\sqrt{3}}{5 - 4 \cdot 3} = \frac{7\sqrt{5} - 14\sqrt{3}}{5 - 12} = \frac{7(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})}{-7} $

Сократим дробь на 7:

$ -(\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - \sqrt{5} $

Ответ: $ 2\sqrt{3} - \sqrt{5} $

б) Для дроби $ \frac{2}{6 - 3\sqrt{2}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 6 - 3\sqrt{2} $ является $ 6 + 3\sqrt{2} $. Умножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{2}{6 - 3\sqrt{2}} = \frac{2(6 + 3\sqrt{2})}{(6 - 3\sqrt{2})(6 + 3\sqrt{2})} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{6^2 - (3\sqrt{2})^2} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{36 - 9 \cdot 2} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{36 - 18} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{18} $

Вынесем общий множитель 6 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{6(2 + \sqrt{2})}{18} = \frac{2 + \sqrt{2}}{3} $

Ответ: $ \frac{2 + \sqrt{2}}{3} $

в) Для дроби $ \frac{17}{3\sqrt{2} + 1} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 3\sqrt{2} + 1 $ является $ 3\sqrt{2} - 1 $. Умножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{17}{3\sqrt{2} + 1} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{(3\sqrt{2} + 1)(3\sqrt{2} - 1)} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{(3\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{9 \cdot 2 - 1} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{18 - 1} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{17} $

Сократим дробь на 17:

$ 3\sqrt{2} - 1 $

Ответ: $ 3\sqrt{2} - 1 $

г) Для дроби $ \frac{9}{\sqrt{7} - 2} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{7} - 2 $ является $ \sqrt{7} + 2 $. Умножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{9}{\sqrt{7} - 2} = \frac{9(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{9(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{9(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{9(\sqrt{7} + 2)}{3} $

Сократим дробь на 3:

$ 3(\sqrt{7} + 2) = 3\sqrt{7} + 6 $

Ответ: $ 3\sqrt{7} + 6 $