Страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Объясните, почему функция $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, является обратной по отношению к функции $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$, где $n = 2, 3, 4, \dots$ .

1. Чтобы доказать, что две функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $f(x)$ совпадает с областью значений функции $g(x)$.
2. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью значений функции $f(x)$.
3. Для любого $x$ из области определения $f(x)$ выполняется равенство $g(f(x)) = x$.
4. Для любого $x$ из области определения $g(x)$ выполняется равенство $f(g(x)) = x$.

Рассмотрим заданные функции:

• $f(x) = x^n$, с областью определения $D(f) = [0; +\infty)$.
• $g(x) = \sqrt[n]{x}$, с областью определения $D(g) = [0; +\infty)$.

Прежде всего, для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была монотонной на своей области определения. Функция $f(x) = x^n$ при $n \ge 2$ на промежутке $[0; +\infty)$ является строго возрастающей. При $x_2 > x_1 \ge 0$ имеем $x_2^n > x_1^n$. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений соответствует единственное значение $x$, то есть обратная функция существует.

Проверим области определения и значений.

Для функции $f(x) = x^n$ с областью определения $D(f) = [0; +\infty)$:

• При $x=0$, $f(0) = 0^n = 0$.
• Так как функция возрастает, при $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.

Следовательно, область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [0; +\infty)$.

Для функции $g(x) = \sqrt[n]{x}$ с областью определения $D(g) = [0; +\infty)$:

• При $x=0$, $g(0) = \sqrt[n]{0} = 0$.
• Так как функция (арифметический корень) возрастает, при $x \to +\infty$, $g(x) \to +\infty$.

Следовательно, область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = [0; +\infty)$.

Как мы видим, $D(f) = E(g) = [0; +\infty)$ и $D(g) = E(f) = [0; +\infty)$. Первые два условия выполнены.

Проверим композиции функций.

1. Найдем композицию $g(f(x))$. Берем $x$ из области определения $f(x)$, то есть $x \in [0; +\infty)$.
$g(f(x)) = g(x^n) = \sqrt[n]{x^n}$.
Поскольку $x \ge 0$, по определению арифметического корня n-ой степени, $\sqrt[n]{x^n} = x$.
Таким образом, $g(f(x)) = x$ для всех $x \in [0; +\infty)$.

2. Найдем композицию $f(g(x))$. Берем $x$ из области определения $g(x)$, то есть $x \in [0; +\infty)$.
$f(g(x)) = f(\sqrt[n]{x}) = (\sqrt[n]{x})^n$.
По определению степени с рациональным показателем (или корня n-ой степени), $(\sqrt[n]{x})^n = x$.
Таким образом, $f(g(x)) = x$ для всех $x \in [0; +\infty)$.

Все условия для взаимно обратных функций выполнены. Ограничение $x \in [0; +\infty)$ для функции $y=x^n$ является ключевым. Если бы, например, при четном $n$ область определения была $(-\infty; +\infty)$, функция не была бы монотонной (например, $(-2)^2 = 2^2$), и у нее не существовало бы обратной функции на всей этой области.

Ответ: Функция $y=\sqrt[n]{x}$ является обратной к функции $y=x^n$ на промежутке $[0; +\infty)$ потому, что на этом промежутке функция $y=x^n$ является строго монотонной (возрастающей), а композиции этих функций в обоих порядках дают тождественную функцию $y=x$, то есть $f(g(x)) = (\sqrt[n]{x})^n = x$ и $g(f(x)) = \sqrt[n]{x^n} = x$.

7.31. Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения:

а) $\frac{6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 1}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}}$;

б) $\frac{3\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} - 2}{9\sqrt{x} - 1}$.

а)
Дана дробь $\frac{6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 1}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}}$.
Для упрощения выражения введем замену. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Поскольку по условию переменная $x$ принимает неотрицательные значения ($x \ge 0$), то и $y \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = y^2$.
Подставим новую переменную в исходную дробь:
$\frac{6y^2 + y - 1}{2y^2 + y}$
Теперь разложим на множители числитель и знаменатель.
Знаменатель: $2y^2 + y = y(2y + 1)$.
Числитель: $6y^2 + y - 1$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $6y^2 + y - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
Тогда разложение числителя на множители имеет вид:
$6y^2 + y - 1 = 6(y - \frac{1}{3})(y - (-\frac{1}{2})) = 6(y - \frac{1}{3})(y + \frac{1}{2}) = 3(y - \frac{1}{3}) \cdot 2(y + \frac{1}{2}) = (3y - 1)(2y + 1)$.
Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{(3y - 1)(2y + 1)}{y(2y + 1)}$
Сократим общий множитель $(2y + 1)$. Это можно сделать, так как $y = \sqrt[3]{x} \ge 0$, и значит $2y + 1 \ge 1$, то есть множитель не равен нулю.
После сокращения получаем:
$\frac{3y - 1}{y}$
Теперь выполним обратную замену, подставив $y = \sqrt[3]{x}$:
$\frac{3\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}$
Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}$

б)
Дана дробь $\frac{3\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} - 2}{9\sqrt{x} - 1}$.
Для упрощения введем замену. Пусть $z = \sqrt[4]{x}$. Так как $x \ge 0$, то $z \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = z^2$.
Подставим новую переменную в исходное выражение:
$\frac{3z^2 - 5z - 2}{9z^2 - 1}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Знаменатель представляет собой разность квадратов: $9z^2 - 1 = (3z)^2 - 1^2 = (3z - 1)(3z + 1)$.
Для разложения числителя $3z^2 - 5z - 2$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3z^2 - 5z - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения:
$z_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$z_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Следовательно, разложение числителя на множители:
$3z^2 - 5z - 2 = 3(z - 2)(z - (-\frac{1}{3})) = 3(z - 2)(z + \frac{1}{3}) = (z - 2)(3z + 1)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(z - 2)(3z + 1)}{(3z - 1)(3z + 1)}$
Сократим на общий множитель $(3z + 1)$. Это возможно, так как $z = \sqrt[4]{x} \ge 0$, и значит $3z + 1 \ge 1$, поэтому множитель не равен нулю.
После сокращения получаем:
$\frac{z - 2}{3z - 1}$
Выполним обратную замену, подставив $z = \sqrt[4]{x}$:
$\frac{\sqrt[4]{x} - 2}{3\sqrt[4]{x} - 1}$
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{x} - 2}{3\sqrt[4]{x} - 1}$

7.32. Сравните числа:

а) $-\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[4]{10}$ и $-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}};$

б) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5};$

в) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}};$

г) $-\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}.$

а) Чтобы сравнить числа $-\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}}$ и $-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}}$ и $\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$.
Преобразуем каждое выражение, чтобы привести корни к одному показателю.
Первое число: $\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4 \cdot 10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{16 \cdot 10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{160}} = \sqrt[5 \cdot 4]{160} = \sqrt[20]{160}$.
Второе число: $\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}} = \sqrt[4 \cdot 5]{99} = \sqrt[20]{99}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $160 > 99$.
Следовательно, $\sqrt[20]{160} > \sqrt[20]{99}$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt[20]{160} < -\sqrt[20]{99}$.
Таким образом, $-\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}} < -\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$.
Ответ: $-\sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[4]{10}} < -\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$. Оба числа положительные. Приведем корни к общему показателю.
Наименьший общий показатель для корней 2-й и 3-й степени - это 6.
Первое число: $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[2 \cdot 3]{24} = \sqrt[6]{24}$.
Второе число: $\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $24 < 25$.
Следовательно, $\sqrt[6]{24} < \sqrt[6]{25}$, а значит $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.

в) Сравним числа $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$. Оба числа положительные.
Преобразуем второе число, чтобы избавиться от вложенного корня:
$\sqrt[8]{6\sqrt{2}} = \sqrt[8]{\sqrt{6^2 \cdot 2}} = \sqrt[8]{\sqrt{36 \cdot 2}} = \sqrt[8]{\sqrt{72}} = \sqrt[8 \cdot 2]{72} = \sqrt[16]{72}$.
Теперь приведем первое число к тому же показателю корня (16):
$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[16]{81}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $81 > 72$.
Следовательно, $\sqrt[16]{81} > \sqrt[16]{72}$, а значит $\sqrt[4]{3} > \sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{3} > \sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

г) Чтобы сравнить числа $-\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$, сравним сначала их модули: $\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}}$ и $\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.
Приведем оба выражения к корню 6-й степени.
Первое число: $\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{48}} = \sqrt[6]{48}$.
Второе число: $\sqrt[3]{5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{5^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{50}} = \sqrt[6]{50}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $48 < 50$.
Следовательно, $\sqrt[6]{48} < \sqrt[6]{50}$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt[6]{48} > -\sqrt[6]{50}$.
Таким образом, $-\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.
Ответ: $-\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Расположите числа в порядке возрастания:

7.33. а) $\sqrt{3}$; $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$;

б) $\sqrt[5]{4}$; $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$;

в) $\sqrt[5]{3}$; $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$;

г) $\sqrt[3]{4}$; $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[6]{12}$.

а)

Чтобы расположить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей корней 2, 3 и 6 равно 6. Приведем все корни к показателю 6:

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{4^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{4^2} = \sqrt[6]{16}$

Третье число $\sqrt[6]{18}$ уже имеет показатель 6.

Теперь сравним подкоренные выражения полученных корней: $16 < 18 < 27$.

Поскольку показатели корней одинаковы, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Таким образом, $\sqrt[6]{16} < \sqrt[6]{18} < \sqrt[6]{27}$.

Это означает, что исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $\sqrt[3]{4} < \sqrt[6]{18} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}; \sqrt[6]{18}; \sqrt{3}$.

б)

Чтобы расположить числа $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$ в порядке возрастания, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 5, 3 и 15 равно 15.

$\sqrt[5]{4} = \sqrt[5 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[15]{64}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Третье число $\sqrt[15]{40}$ уже имеет показатель 15.

Сравним подкоренные выражения: $32 < 40 < 64$.

Следовательно, $\sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[15]{64}$, что соответствует порядку $\sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[5]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}; \sqrt[15]{40}; \sqrt[5]{4}$.

в)

Чтобы расположить числа $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$ в порядке возрастания, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 5, 3 и 15 равно 15.

$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Третье число $\sqrt[15]{30}$ уже имеет показатель 15.

Сравним подкоренные выражения: $27 < 30 < 32$.

Следовательно, $\sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[15]{32}$, что соответствует порядку $\sqrt[5]{3} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3}; \sqrt[15]{30}; \sqrt[3]{2}$.

г)

Чтобы расположить числа $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[6]{12}$ в порядке возрастания, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 3, 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 4]{4^4} = \sqrt[12]{256}$

$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$

$\sqrt[6]{12} = \sqrt[6 \cdot 2]{12^2} = \sqrt[12]{144}$

Сравним подкоренные выражения: $125 < 144 < 256$.

Следовательно, $\sqrt[12]{125} < \sqrt[12]{144} < \sqrt[12]{256}$, что соответствует порядку $\sqrt[4]{5} < \sqrt[6]{12} < \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[4]{5}; \sqrt[6]{12}; \sqrt[3]{4}$.

7.34. a) $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$; $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$;

б) $\sqrt[5]{4}$; $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[10]{25}$;

в) $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}}$; $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}}$;

г) $\sqrt[16]{64}$; $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$.

а)

Для того чтобы сравнить данные числа, приведем каждое из них к виду корня одной и той же степени.

1. Упростим первое выражение $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$:

Внесем множитель 3 под знак кубического корня: $3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27}$.
$\sqrt{3\sqrt[3]{4}} = \sqrt{\sqrt[3]{27 \cdot 4}} = \sqrt{\sqrt[3]{108}}$.
Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получаем: $\sqrt[2 \cdot 3]{108} = \sqrt[6]{108}$.

2. Упростим второе выражение $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$:

Внесем множитель 5 под знак квадратного корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.
$\sqrt[3]{5\sqrt{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt{75}}$.
Применяя то же свойство корней, получаем: $\sqrt[3 \cdot 2]{75} = \sqrt[6]{75}$.

3. Третье выражение $\sqrt[6]{100}$ уже имеет показатель корня 6.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[6]{108}$, $\sqrt[6]{75}$ и $\sqrt[6]{100}$. Поскольку показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $75 < 100 < 108$.

Следовательно, $\sqrt[6]{75} < \sqrt[6]{100} < \sqrt[6]{108}$.

Это означает, что в порядке возрастания исходные числа располагаются так: $\sqrt[3]{5\sqrt{3}} < \sqrt[6]{100} < \sqrt{3\sqrt[3]{4}}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5\sqrt{3}} < \sqrt[6]{100} < \sqrt{3\sqrt[3]{4}}$.

б)

Приведем все выражения к корню с одним и тем же показателем.

1. Первое выражение $\sqrt[5]{4}$ уже в простой форме.

2. Упростим второе выражение $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$:

$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{3^5 \cdot 3}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{3^6}} = \sqrt[30]{3^6}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 6: $\sqrt[30/6]{3^{6/6}} = \sqrt[5]{3}$.

3. Упростим третье выражение $\sqrt[10]{25}$:

$\sqrt[10]{25} = \sqrt[10]{5^2}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 2: $\sqrt[10/2]{5^{2/2}} = \sqrt[5]{5}$.

Теперь мы имеем три выражения с одинаковым показателем корня: $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[5]{3}$ и $\sqrt[5]{5}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $3 < 4 < 5$.

Следовательно, $\sqrt[5]{3} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[5]{5}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[10]{25}$.

Ответ: $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[10]{25}$.

в)

Для сравнения приведем все выражения к общему показателю корня.

1. Упростим первое выражение $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}}$:

$\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 5}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{27 \cdot 5}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{135}} = \sqrt[15]{135}$.

2. Второе выражение $\sqrt[3]{3}$.

3. Упростим третье выражение $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}}$:

$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{2^5 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{32 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[15]{96}$.

Общий показатель корня для $\sqrt[15]{135}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[15]{96}$ равен 15. Приведем $\sqrt[3]{3}$ к этому показателю:

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243}$.

Теперь сравним числа: $\sqrt[15]{135}$, $\sqrt[15]{243}$ и $\sqrt[15]{96}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $96 < 135 < 243$.

Следовательно, $\sqrt[15]{96} < \sqrt[15]{135} < \sqrt[15]{243}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}} < \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}} < \sqrt[3]{3}$.

г)

Упростим каждое выражение, представив его в виде одного корня.

1. Упростим $\sqrt[16]{64}$:

$\sqrt[16]{64} = \sqrt[16]{2^6} = 2^{6/16} = 2^{3/8} = \sqrt[8]{2^3} = \sqrt[8]{8}$.

2. Упростим $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$:

$\sqrt[48]{7\sqrt{7}} = \sqrt[48]{7^1 \cdot 7^{1/2}} = \sqrt[48]{7^{3/2}} = (7^{3/2})^{1/48} = 7^{(3/2) \cdot (1/48)} = 7^{3/96} = 7^{1/32} = \sqrt[32]{7}$.

3. Упростим $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$:

$1,25 = \frac{5}{4}$.
$\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} = \sqrt[4]{2\sqrt{\frac{5}{4}}} = \sqrt[4]{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \sqrt[4]{\sqrt{5}} = \sqrt[8]{5}$.

Теперь нужно сравнить: $\sqrt[8]{8}$, $\sqrt[32]{7}$ и $\sqrt[8]{5}$.

Наименьший общий показатель корня - 32. Приведем все корни к этому показателю.

$\sqrt[8]{8} = \sqrt[8 \cdot 4]{8^4} = \sqrt[32]{(2^3)^4} = \sqrt[32]{2^{12}} = \sqrt[32]{4096}$.

$\sqrt[8]{5} = \sqrt[8 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[32]{625}$.

$\sqrt[32]{7}$ уже имеет нужный показатель.

Сравниваем подкоренные выражения: $7 < 625 < 4096$.

Следовательно, $\sqrt[32]{7} < \sqrt[32]{625} < \sqrt[32]{4096}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt[48]{7\sqrt{7}} < \sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} < \sqrt[16]{64}$.

Ответ: $\sqrt[48]{7\sqrt{7}} < \sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} < \sqrt[16]{64}$.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

7.35. а) $ \frac{1}{3\sqrt{2}} $;

б) $ \frac{3}{2\sqrt[3]{9}} $;

в) $ \frac{8}{\sqrt[5]{16}} $;

г) $ \frac{12}{7\sqrt[6]{243}} $.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{3\sqrt{2}}$, нужно умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{2}$. Это действие не изменит значение дроби, но позволит убрать корень из знаменателя, так как по определению $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.
Выполним умножение:
$\frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.
Теперь знаменатель равен 6, что является рациональным числом.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{6}$.

б) В знаменателе дроби $\frac{3}{2\sqrt[3]{9}}$ находится кубический корень. Для избавления от иррациональности нужно сделать подкоренное выражение полным кубом. Сначала представим число 9 в виде степени: $9 = 3^2$. Тогда дробь имеет вид $\frac{3}{2\sqrt[3]{3^2}}$. Чтобы получить под корнем $3^3$, нужно домножить $\sqrt[3]{3^2}$ на $\sqrt[3]{3}$. Умножим на этот множитель числитель и знаменатель дроби.
$\frac{3}{2\sqrt[3]{9}} = \frac{3}{2\sqrt[3]{3^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{2\sqrt[3]{3^3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{2 \cdot 3}$.
Сократим множитель 3 в числителе и знаменателе:
$\frac{3\sqrt[3]{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt[3]{3}}{2}$.
Знаменатель стал рациональным числом 2.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$.

в) Знаменатель дроби $\frac{8}{\sqrt[5]{16}}$ содержит корень пятой степени. Чтобы от него избавиться, нужно, чтобы подкоренное выражение стало числом в пятой степени. Представим $16$ как степень числа 2: $16 = 2^4$. Дробь принимает вид $\frac{8}{\sqrt[5]{2^4}}$. Чтобы под корнем получить $2^5$, необходимо домножить $\sqrt[5]{2^4}$ на $\sqrt[5]{2}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[5]{2}$.
$\frac{8}{\sqrt[5]{16}} = \frac{8}{\sqrt[5]{2^4}} = \frac{8 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{8\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{8\sqrt[5]{2}}{2}$.
Сократим полученное выражение:
$\frac{8\sqrt[5]{2}}{2} = 4\sqrt[5]{2}$.
Знаменатель стал равен 1, что является рациональным числом.
Ответ: $4\sqrt[5]{2}$.

г) В знаменателе дроби $\frac{12}{7\sqrt[6]{243}}$ находится корень шестой степени. Разложим подкоренное число 243 на простые множители: $243 = 3^5$. Дробь можно записать как $\frac{12}{7\sqrt[6]{3^5}}$. Чтобы под корнем получить шестую степень, нужно домножить $\sqrt[6]{3^5}$ на $\sqrt[6]{3}$. Умножим на этот множитель числитель и знаменатель.
$\frac{12}{7\sqrt[6]{243}} = \frac{12}{7\sqrt[6]{3^5}} = \frac{12 \cdot \sqrt[6]{3}}{7\sqrt[6]{3^5} \cdot \sqrt[6]{3}} = \frac{12\sqrt[6]{3}}{7\sqrt[6]{3^6}} = \frac{12\sqrt[6]{3}}{7 \cdot 3} = \frac{12\sqrt[6]{3}}{21}$.
Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3.
$\frac{12\sqrt[6]{3}}{21} = \frac{4\sqrt[6]{3}}{7}$.
Знаменатель стал рациональным числом 7.
Ответ: $\frac{4\sqrt[6]{3}}{7}$.

7.36. a) $\frac{7}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}};$

б) $\frac{2}{6 - 3\sqrt{2}};$

в) $\frac{17}{3\sqrt{2} + 1};$

г) $\frac{9}{\sqrt{7} - 2}.$

а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{7}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $ \sqrt{5} + 2\sqrt{3} $ является выражение $ \sqrt{5} - 2\sqrt{3} $. При умножении знаменателя на сопряженное ему выражение используется формула разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{7}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}} = \frac{7(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})}{(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})} = \frac{7\sqrt{5} - 14\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{7\sqrt{5} - 14\sqrt{3}}{5 - 4 \cdot 3} = \frac{7\sqrt{5} - 14\sqrt{3}}{5 - 12} = \frac{7(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})}{-7} $

Сократим дробь на 7:

$ -(\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - \sqrt{5} $

Ответ: $ 2\sqrt{3} - \sqrt{5} $

б) Для дроби $ \frac{2}{6 - 3\sqrt{2}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 6 - 3\sqrt{2} $ является $ 6 + 3\sqrt{2} $. Умножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{2}{6 - 3\sqrt{2}} = \frac{2(6 + 3\sqrt{2})}{(6 - 3\sqrt{2})(6 + 3\sqrt{2})} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{6^2 - (3\sqrt{2})^2} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{36 - 9 \cdot 2} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{36 - 18} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{18} $

Вынесем общий множитель 6 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{6(2 + \sqrt{2})}{18} = \frac{2 + \sqrt{2}}{3} $

Ответ: $ \frac{2 + \sqrt{2}}{3} $

в) Для дроби $ \frac{17}{3\sqrt{2} + 1} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 3\sqrt{2} + 1 $ является $ 3\sqrt{2} - 1 $. Умножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{17}{3\sqrt{2} + 1} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{(3\sqrt{2} + 1)(3\sqrt{2} - 1)} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{(3\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{9 \cdot 2 - 1} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{18 - 1} = \frac{17(3\sqrt{2} - 1)}{17} $

Сократим дробь на 17:

$ 3\sqrt{2} - 1 $

Ответ: $ 3\sqrt{2} - 1 $

г) Для дроби $ \frac{9}{\sqrt{7} - 2} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{7} - 2 $ является $ \sqrt{7} + 2 $. Умножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{9}{\sqrt{7} - 2} = \frac{9(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{9(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{9(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{9(\sqrt{7} + 2)}{3} $

Сократим дробь на 3:

$ 3(\sqrt{7} + 2) = 3\sqrt{7} + 6 $

Ответ: $ 3\sqrt{7} + 6 $

7.37. a) $\frac{10}{\sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{7}}$;

б) $\frac{11}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}}$;

в) $\frac{4}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}$;

г) $\frac{3}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{6}}$.

a) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{10}{\sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{7}}$, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. В данном случае $a = \sqrt[3]{12}$ и $b = \sqrt[3]{7}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение для знаменателя, которым является неполный квадрат суммы: $(\sqrt[3]{12})^2 + \sqrt[3]{12}\sqrt[3]{7} + (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49}$.

$\frac{10}{\sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{7}} = \frac{10 \cdot (\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})}{(\sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{7}) \cdot (\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})} = \frac{10(\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})}{(\sqrt[3]{12})^3 - (\sqrt[3]{7})^3} = \frac{10(\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})}{12 - 7} = \frac{10(\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})}{5} = 2(\sqrt[3]{144} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49})$.

Упростим корень в полученном выражении: $\sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{8 \cdot 18} = 2\sqrt[3]{18}$.

Подставим и раскроем скобки: $2(2\sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{84} + \sqrt[3]{49}) = 4\sqrt[3]{18} + 2\sqrt[3]{84} + 2\sqrt[3]{49}$.

Ответ: $4\sqrt[3]{18} + 2\sqrt[3]{84} + 2\sqrt[3]{49}$.

б) Для дроби $\frac{11}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}}$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Здесь $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt[3]{6}$. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности: $(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{6} + (\sqrt[3]{6})^2 = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36}$.

$\frac{11}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}} = \frac{11 \cdot (\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})}{(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}) \cdot (\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})} = \frac{11(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{6})^3} = \frac{11(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})}{5 + 6} = \frac{11(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36})}{11} = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36}$.

Корни в ответе не упрощаются, так как подкоренные выражения не содержат множителей в виде кубов целых чисел.

Ответ: $\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{36}$.

B) Для дроби $\frac{4}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}$ применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. В данном случае $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{9}$. Сопряженное выражение для знаменателя: $(\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9} + (\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3}$.

$\frac{4}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} = \frac{4 \cdot (\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) \cdot (\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{9})^3} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})}{3+9} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3})}{12} = \frac{\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{9} - 3 + 3\sqrt[3]{3}}{3}$.

г) Для дроби $\frac{3}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{6}}$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Здесь $a = \sqrt[3]{15}$ и $b = \sqrt[3]{6}$. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы: $(\sqrt[3]{15})^2 + \sqrt[3]{15}\sqrt[3]{6} + (\sqrt[3]{6})^2 = \sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36}$.

$\frac{3}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{6}} = \frac{3 \cdot (\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})}{(\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{6}) \cdot (\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})} = \frac{3(\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})}{(\sqrt[3]{15})^3 - (\sqrt[3]{6})^3} = \frac{3(\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})}{15-6} = \frac{3(\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36})}{9} = \frac{\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36}}{3}$.

Корни в числителе не упрощаются.

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{36}}{3}$.

○7.38.

a) $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}};$

б) $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}}.$

a)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}} $, необходимо последовательно умножать числитель и знаменатель на сопряженные выражения.

Сначала сгруппируем слагаемые в знаменателе: $ (\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{c} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{c} $:

$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c})}{((\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{c})((\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{c})} $

Применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $ к знаменателю:

$ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{c})^2} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{a + 2\sqrt{ab} + b - c} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{(a+b-c) + 2\sqrt{ab}} $

Теперь в знаменателе осталось одно иррациональное слагаемое. Снова умножим числитель и знаменатель на сопряженное к новому знаменателю выражение $ (a+b-c) - 2\sqrt{ab} $:

$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}) \cdot ((a+b-c) - 2\sqrt{ab})}{((a+b-c) + 2\sqrt{ab}) \cdot ((a+b-c) - 2\sqrt{ab})} $

Снова применим формулу разности квадратов к знаменателю:

Знаменатель: $ (a+b-c)^2 - (2\sqrt{ab})^2 = (a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc) - 4ab = a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc $.

Числитель остается в виде произведения: $ (\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab}) $.

Таким образом, итоговое выражение:

$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc} $

Ответ: $ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc} $.

б)

Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}} $ сгруппируем слагаемые так, чтобы упростить вычисления. Запишем знаменатель в виде $ (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5} $. Такая группировка выгодна, так как $ (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 2 + 3 - 5 = 0 $, что упростит знаменатель после первого шага.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5} $:

$ \frac{1}{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} $

Упростим знаменатель, используя формулу квадрата разности и разности квадратов:

$ (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (2 - 2\sqrt{6} + 3) - 5 = (5 - 2\sqrt{6}) - 5 = -2\sqrt{6} $

Теперь дробь имеет вид:

$ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{-2\sqrt{6}} $

Чтобы завершить избавление от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $:

$ \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{6}}{-2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{6} - \sqrt{3}\sqrt{6} - \sqrt{5}\sqrt{6}}{-2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18} - \sqrt{30}}{-12} $

Упростим корни в числителе:

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $

Подставим упрощенные значения обратно в дробь:

$ \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{-12} $

Чтобы сделать знаменатель положительным, умножим числитель и знаменатель на -1:

$ \frac{-(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{30})}{12} = \frac{-2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}}{12} $

Запишем слагаемые в числителе в более привычном порядке:

$ \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12} $.

7.39. a) $\frac{2}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}}$

б) $\frac{9}{\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4}}$

В) $\frac{-10}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49}}$

Г) $\frac{5}{\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16}}$

Исходное выражение: $ \frac{2}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}} $.
Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9} $ представляет собой неполный квадрат разности. Мы можем заметить, что $ \sqrt[3]{25} = (\sqrt[3]{5})^2 $, $ \sqrt[3]{9} = (\sqrt[3]{3})^2 $ и $ \sqrt[3]{15} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} $.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $ a^2 - ab + b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{5} $ и $ b = \sqrt[3]{3} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $ (a+b) = (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}) $.
$ \frac{2}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}} = \frac{2 \cdot (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}) \cdot (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})} = \frac{2(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{3})^3} $
$ = \frac{2(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})}{5 + 3} = \frac{2(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3})}{8} = \frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}{4} $.

Исходное выражение: $ \frac{9}{\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4}} $.
Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4} $ представляет собой неполный квадрат суммы. Мы можем заметить, что $ \sqrt[3]{16} = (\sqrt[3]{4})^2 $, $ \sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2 $ и $ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} $.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $ a^2 + ab + b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{4} $ и $ b = \sqrt[3]{2} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе воспользуемся формулой разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $ (a-b) = (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}) $.
$ \frac{9}{\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4}} = \frac{9 \cdot (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{4}) \cdot (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})} = \frac{9(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{4})^3 - (\sqrt[3]{2})^3} $
$ = \frac{9(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{4 - 2} = \frac{9(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{2} $.
Ответ: $ \frac{9(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2})}{2} $.

Исходное выражение: $ \frac{-10}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49}} $.
Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49} $ представляет собой неполный квадрат суммы. Мы можем заметить, что $ \sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2 $, $ \sqrt[3]{49} = (\sqrt[3]{7})^2 $ и $ \sqrt[3]{14} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{7} $.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $ a^2 + ab + b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{2} $ и $ b = \sqrt[3]{7} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе воспользуемся формулой разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $ (a-b) = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7}) $.
$ \frac{-10}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49}} = \frac{-10 \cdot (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})}{(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49}) \cdot (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})} = \frac{-10(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})}{(\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{7})^3} $
$ = \frac{-10(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})}{2 - 7} = \frac{-10(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})}{-5} = 2(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7}) $.
Ответ: $ 2(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7}) $.

Исходное выражение: $ \frac{5}{\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16}} $.
Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16} $ представляет собой неполный квадрат разности. Мы можем заметить, что $ \sqrt[3]{36} = (\sqrt[3]{6})^2 $, $ \sqrt[3]{16} = (\sqrt[3]{4})^2 $ и $ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{4} $.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $ a^2 - ab + b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{6} $ и $ b = \sqrt[3]{4} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $ (a+b) = (\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) $.
$ \frac{5}{\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16}} = \frac{5 \cdot (\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{16}) \cdot (\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})} = \frac{5(\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{6})^3 + (\sqrt[3]{4})^3} $
$ = \frac{5(\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{6 + 4} = \frac{5(\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{10} = \frac{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{2} $.

7.40. a) $\frac{3}{\sqrt{15}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-2}$;

б) $\frac{6}{\sqrt{10}-\sqrt{6}+5-\sqrt{15}}$.

a)

Упростим выражение $ \frac{3}{\sqrt{15} + \sqrt{10} - \sqrt{6} - 2} $.

Для упрощения, в первую очередь, преобразуем знаменатель. Разложим подкоренные выражения на множители и сгруппируем слагаемые:

$ \sqrt{15} + \sqrt{10} - \sqrt{6} - 2 = \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 2} $

$ = (\sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{2 \cdot 5}) - (\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}) = \sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $

Вынесем общий множитель $ (\sqrt{3} + \sqrt{2}) $ за скобки:

$ = (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$ \frac{3}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе (рационализировать знаменатель), домножим числитель и знаменатель на сопряженное к первому множителю выражение $ (\sqrt{5} + \sqrt{2}) $:

$ \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(5 - 2)(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $

Теперь домножим числитель и знаменатель полученной дроби на выражение $ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) $, сопряженное к новому знаменателю:

$ \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3-2} = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) $

Осталось раскрыть скобки:

$ (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{5}\sqrt{3} - \sqrt{5}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{2} = \sqrt{15} - \sqrt{10} + \sqrt{6} - 2 $

Ответ: $ \sqrt{15} - \sqrt{10} + \sqrt{6} - 2 $

б)

Упростим выражение $ \frac{6}{\sqrt{10} - \sqrt{6} + 5 - \sqrt{15}} $.

Преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители:

$ \sqrt{10} - \sqrt{6} + 5 - \sqrt{15} = (\sqrt{10} - \sqrt{6}) + (5 - \sqrt{15}) $

Разложим числа под корнями и число 5 на множители:

$ = (\sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 3}) + (\sqrt{5 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 3}) = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $

Вынесем общий множитель $ (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $ за скобки:

$ = (\sqrt{2} + \sqrt{5})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $

Исходное выражение примет вид:

$ \frac{6}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} $

Рационализируем знаменатель. Сначала домножим числитель и знаменатель на $ (\sqrt{5} - \sqrt{2}) $, сопряженное к первому множителю знаменателя:

$ \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(5 - 2)(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $

Теперь домножим числитель и знаменатель на $ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) $, сопряженное к оставшемуся знаменателю:

$ \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) $

Раскроем скобки:

$ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{5}\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{5} - \sqrt{2}\sqrt{3} = 5 + \sqrt{15} - \sqrt{10} - \sqrt{6} $

Ответ: $ 5 + \sqrt{15} - \sqrt{10} - \sqrt{6} $