Страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3. Дано соотношение $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?

Рассмотрим данное соотношение $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$. Основное свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ для чётного показателя корня $n$ справедливо только в том случае, когда $x$ и $y$ являются неотрицательными числами ($x \ge 0, y \ge 0$). В данной задаче показатель корня $n=6$ является чётным.

Область определения левой части, $\sqrt[6]{ab}$, задаётся условием $ab \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть одного знака или хотя бы одно из них равно нулю.

Область определения правой части, $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$, задаётся более строгим условием: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, так как корень чётной степени из отрицательного числа не определён в множестве действительных чисел.

Приведите пример, когда оно является верным равенством

Равенство будет верным, когда обе его части определены и равны. Это происходит при $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Возьмём в качестве примера $a = 64$ и $b = 1$. Оба числа неотрицательные.
Подставим значения в левую часть: $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{64 \cdot 1} = \sqrt[6]{64} = 2$.
Подставим значения в правую часть: $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{1} = 2 \cdot 1 = 2$.
Поскольку $2 = 2$, равенство является верным.
Ответ: например, при $a = 64$ и $b = 1$ равенство является верным.

и пример, когда не является

Равенство не будет верным, если левая часть определена, а правая — нет. Это произойдёт, если $a < 0$ и $b < 0$. В этом случае произведение $ab$ будет положительным, но извлечь корень шестой степени из отрицательных $a$ и $b$ по отдельности будет невозможно в действительных числах.
Возьмём в качестве примера $a = -1$ и $b = -64$.
Левая часть: $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{(-1) \cdot (-64)} = \sqrt[6]{64} = 2$. Левая часть определена.
Правая часть: $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{-1} \cdot \sqrt[6]{-64}$. Правая часть не определена в множестве действительных чисел.
Поскольку правая часть не определена, равенство не является верным.
Ответ: например, при $a = -1$ и $b = -64$ равенство не является верным.

Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?

Условие $ab > 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак: либо оба положительные, либо оба отрицательные.
1. Если $a > 0$ и $b > 0$, то исходное равенство $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$ является верным.
2. Если $a < 0$ и $b < 0$, то $ab > 0$. Левая часть $\sqrt[6]{ab}$ определена. Чтобы правая часть также была определена и равна левой, необходимо брать корни из неотрицательных чисел. Для отрицательных $a$ и $b$ можно использовать их модули: $a = -|a|$ и $b = -|b|$. Тогда $ab = (-|a|) \cdot (-|b|) = |a| \cdot |b|$.
Левая часть равна $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a| \cdot |b|}$. По свойству корня для неотрицательных чисел, это выражение равно $\sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.
Чтобы объединить оба случая ($a,b > 0$ и $a,b < 0$), нужно использовать модуль в правой части. Тогда тождество, верное при любом $ab>0$, будет выглядеть так:
$\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$
Эта формула верна для любых $a$ и $b$ c одинаковым знаком. Если $a>0, b>0$, то $|a|=a, |b|=b$. Если $a<0, b<0$, то $|a|=-a, |b|=-b$, и $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{(-a)(-b)} = \sqrt[6]{|a||b|} = \sqrt[6]{|a|}\sqrt[6]{|b|}$.
Ответ: правая часть должна выглядеть как $\sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.

4. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет ($a \ge 0$):

а) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[15]{a}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[8]{a}$;

в) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a}$;

г) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a}$;

д) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[10]{a}?$

Для решения этой задачи мы будем использовать основное свойство корней: для любых натуральных чисел $n \ge 2$, $m \ge 2$ и любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Также напомним, что запись $\sqrt{a}$ означает квадратный корень, то есть корень второй степени: $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$.

а) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[15]{a}$

Преобразуем левую часть равенства, используя свойство корня из корня:

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a} = \sqrt[15]{a}$

Сравнивая результат с правой частью, видим, что $\sqrt[15]{a} = \sqrt[15]{a}$.

Следовательно, соотношение является верным.

Ответ: верно.

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[8]{a}$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a} = \sqrt[15]{a}$

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[15]{a} \neq \sqrt[8]{a}$ (равенство истинно только для $a=0$ и $a=1$, но не для всех $a \ge 0$).

Следовательно, соотношение является неверным.

Ответ: неверно.

в) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a}$

Преобразуем левую часть, учитывая, что $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$:

$\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[10]{a} \neq \sqrt[6]{a}$.

Следовательно, соотношение является неверным.

Ответ: неверно.

г) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a}$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[10]{a} \neq \sqrt[7]{a}$.

Следовательно, соотношение является неверным.

Ответ: неверно.

д) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[10]{a}$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$

Сравнивая результат с правой частью, видим, что $\sqrt[10]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Следовательно, соотношение является верным.

Ответ: верно.

5. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет:

a) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[7]{a};$

б) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a};$

в) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^7}?$

а) Проверим соотношение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[7]{a}$.

Для того чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к одному показателю или представить в виде степеней с рациональными показателями. Воспользуемся вторым способом, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.

Представим левую часть равенства в виде степеней: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{1/3} \cdot a^{1/4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^{1/3} \cdot a^{1/4} = a^{1/3 + 1/4}$.

Найдем сумму показателей, приведя дроби к общему знаменателю 12: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.

Таким образом, левая часть равна $a^{7/12}$, что в виде корня записывается как $\sqrt[12]{a^7}$.

Правая часть равенства — это $\sqrt[7]{a}$.

Сравниваем полученный результат с правой частью исходного равенства: $\sqrt[12]{a^7} \neq \sqrt[7]{a}$. Следовательно, данное соотношение неверно. Ошибка в предложенном равенстве заключается в неверном действии с показателями корней — их сложении ($3+4=7$).

Ответ: неверно.

б) Проверим соотношение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a}$.

Как мы уже вычислили в пункте а), произведение в левой части равно $\sqrt[12]{a^7}$.

Правая часть равенства — это $\sqrt[12]{a}$.

Сравниваем левую и правую части: $\sqrt[12]{a^7} \neq \sqrt[12]{a}$ (равенство выполняется только при $a=0$ или $a=1$, но не для всех $a$). Следовательно, данное соотношение неверно. Ошибка заключается в том, что при приведении корней к общему показателю $12$ ($3 \cdot 4 = 12$) не были возведены в соответствующую степень подкоренные выражения. Правильное преобразование выглядит так: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^4} \cdot \sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12]{a^{4+3}} = \sqrt[12]{a^7}$.

Ответ: неверно.

в) Проверим соотношение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^7}$.

Используем вычисления, проведенные в пункте а). Левая часть: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{1/3} \cdot a^{1/4} = a^{1/3 + 1/4} = a^{7/12}$.

Представим результат $a^{7/12}$ в виде корня: $\sqrt[12]{a^7}$.

Правая часть равенства — $\sqrt[12]{a^7}$.

Левая и правая части равенства совпадают: $\sqrt[12]{a^7} = \sqrt[12]{a^7}$. Следовательно, данное соотношение является верным.

Ответ: верно.

6. Дано соотношение $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения, чтобы оно было верным равенством?

Приведите пример, когда оно является верным равенством
Равенство $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$ будет верным, когда подкоренное выражение в правой части неотрицательно, то есть при $a \ge 0$.
Возьмем в качестве примера $a = 64$.
Подставим это значение в левую и правую части соотношения:
Левая часть: $\sqrt[6]{64^2} = \sqrt[6]{4096}$. Поскольку $4^6 = 4096$, то $\sqrt[6]{4096} = 4$.
Правая часть: $\sqrt[3]{64}$. Поскольку $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Так как левая и правая части равны ($4 = 4$), то при $a=64$ равенство является верным.
Ответ: равенство верно, например, при $a=64$.

и пример, когда не является
Равенство не будет верным, если $a < 0$. Это связано с тем, что корень четной степени (в левой части) по определению является неотрицательным числом, в то время как корень нечетной степени из отрицательного числа (в правой части) будет отрицательным.
Возьмем в качестве примера $a = -8$.
Подставим это значение в обе части:
Левая часть: $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.
Правая часть: $\sqrt[3]{-8} = -2$.
Так как $2 \neq -2$, то при $a=-8$ равенство не является верным.
Ответ: равенство неверно, например, при $a=-8$.

Как должна выглядеть правая часть соотношения, чтобы оно было верным равенством?
Чтобы соотношение стало верным равенством для всех действительных значений $a$, необходимо преобразовать его левую часть и потребовать, чтобы правая часть была ей тождественно равна.
Преобразуем левую часть, используя свойства степеней и корней:$\sqrt[6]{a^2} = (a^2)^{\frac{1}{6}}$
Используя свойство $x^{mn} = (x^m)^n$, можно записать:$(a^2)^{\frac{1}{6}} = (a^2)^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{a^2}}$
По определению корня из квадрата числа, $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль $a$).
Таким образом, левая часть тождественно равна $\sqrt[3]{|a|}$ для любого действительного числа $a$.
Следовательно, чтобы исходное соотношение было верным равенством для всех $a$, его правая часть также должна быть равна $\sqrt[3]{|a|}$.
Исходное соотношение должно выглядеть так: $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{|a|}$.
Ответ: правая часть соотношения должна выглядеть как $\sqrt[3]{|a|}$.

8.35. a) $\frac{a^{3/2} - b^{3/2}}{a^{1/2} + b^{1/2}} \cdot \frac{a - b}{a + a^{1/2}b^{1/2} + b} + 2a^{1/2}b^{1/2};$

б) $\left(\frac{q^{1/2}}{p - p^{1/2}q^{1/2}} + \frac{p^{1/2}}{q - p^{1/2}q^{1/2}}\right) \cdot \frac{pq^{1/2} + p^{1/2}q}{p - q}.$

а) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним умножение дробей:

$ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a - b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Для упрощения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Числитель первой дроби является разностью кубов, а числитель второй дроби — разностью квадратов:

$a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$

$a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Подставим эти выражения в исходное произведение:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях: $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$ и $(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$. Получим:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 = a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b $

Теперь добавим оставшийся член из исходного выражения:

$ (a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a + b $

Ответ: $a+b$

б) Решим по действиям. Сначала упростим выражение в скобках:

$ \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} $

Вынесем общие множители в знаменателях:

$ p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $

$ q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = q^{\frac{1}{2}}(q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}) = -q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $

Приведем дроби к общему знаменателю $p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})$:

$ \frac{q^{\frac{1}{2}} \cdot q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} - \frac{p^{\frac{1}{2}} \cdot p^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q - p}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} $

Разложим числитель $q-p = -(p-q) = -(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})$ и сократим дробь:

$ \frac{-(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} $

Теперь упростим вторую дробь:

$ \frac{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q}{p - q} = \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} = \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} $

Перемножим полученные выражения:

$ \left(-\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} = -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} = \frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}} $

Ответ: $\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}}$

8.36. a) $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$;

б) $\frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a + 1}{a^2 - 4a + 3}$.

а)

Упростим данное выражение: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $.

Для начала преобразуем знаменатель третьей дроби, вынеся за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$: $ a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $.

Общим знаменателем для всех дробей является выражение $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. Приведем все дроби к этому знаменателю.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, получаем: $ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{(a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $a^{\frac{1}{2}}$. Получаем: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $.

Теперь выполним вычитание и сложение дробей с одинаковыми знаменателями: $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{(a - b) - a + b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $.

Упростим числитель полученной дроби: $ a - b - a + b = 0 $.

Таким образом, значение всего выражения равно нулю (при допустимых значениях переменных $a > 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$).

Ответ: $0$

б)

Упростим выражение: $ \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a+1}{a^2 - 4a + 3} $.

Преобразуем каждую дробь по отдельности.

1. Упростим первую дробь. Вынесем в знаменателе общий множитель $a^{-\frac{1}{3}}$: $ \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{-\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}-(-\frac{1}{3})} - 3)} = \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{-\frac{1}{3}}(a^1 - 3)} = \frac{2}{a - 3} $.

2. Упростим вторую дробь. Вынесем в знаменателе общий множитель $a^{\frac{2}{3}}$: $ \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} - 1)} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^1 - 1)} = \frac{1}{a - 1} $.

3. Упростим третью дробь. Разложим на множители квадратичный знаменатель $a^2 - 4a + 3$. Корнями соответствующего уравнения $a^2 - 4a + 3 = 0$ являются $a_1=1$ и $a_2=3$. Значит, $a^2 - 4a + 3 = (a - 1)(a - 3)$. Таким образом, третья дробь равна $ \frac{a+1}{(a - 1)(a - 3)} $.

Подставим упрощенные дроби обратно в исходное выражение: $ \frac{2}{a - 3} - \frac{1}{a - 1} - \frac{a+1}{(a - 1)(a - 3)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(a - 1)(a - 3)$: $ \frac{2(a - 1)}{(a - 1)(a - 3)} - \frac{1(a - 3)}{(a - 1)(a - 3)} - \frac{a+1}{(a - 1)(a - 3)} $.

Выполним действия с числителями, объединив их под одной дробной чертой: $ \frac{2(a - 1) - (a - 3) - (a + 1)}{(a - 1)(a - 3)} = \frac{2a - 2 - a + 3 - a - 1}{(a - 1)(a - 3)} $.

Упростим выражение в числителе, сгруппировав подобные слагаемые: $ (2a - a - a) + (-2 + 3 - 1) = 0a + 0 = 0 $.

В результате получаем ноль (при допустимых значениях переменной $a > 0$, $a \ne 1$, $a \ne 3$).

Ответ: $0$

8.37. a) Упростите выражение и найдите его значение при

$x = \frac{1}{9}$

$\frac{x^{\frac{5}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{(x+1)(x^2+1)} - \left(x - \frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^2 \sqrt{(1+x^2)^{-1}} - \sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$

б) Упростите выражение и найдите его значение при

$a = \sqrt{0,027}, x = \frac{1}{27}$

$\left( \frac{x^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{4}{3}}}{x + 2x^{\frac{2}{3}}a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{\frac{1}{3}} - 4a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}} - \frac{a^{\frac{4}{3}} - 2x}{x - a^{\frac{4}{3}}x^{\frac{1}{3}}} - 2 \right) \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{4}{3}}}{6a^{\frac{2}{3}} - 2}$

а) Упростим данное выражение по частям. Обозначим всё выражение как $E$.

Первый член выражения:$T_1 = \frac{x^{\frac{5}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{(x+1)(x^2+1)}$Вынесем в числителе $x^{-\frac{1}{2}}$ за скобки:$x^{\frac{5}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}}(x^3 - 1) = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}}$Тогда:$T_1 = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}$

Второй член выражения (без учёта знака "минус" перед ним):$T_2 = \left(x - \frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^2\sqrt{(1+x^2)^{-1}} - \sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$Упростим первый множитель:$x - \frac{x^3}{1+x^2} = \frac{x(1+x^2)-x^3}{1+x^2} = \frac{x+x^3-x^3}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}$Тогда $\left(x - \frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{x}{1+x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1+x^2}{x}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x}}$Упростим второй множитель (дробь):Числитель дроби: $x^2\sqrt{(1+x^2)^{-1}} - \sqrt{1+x^2} = x^2\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \sqrt{1+x^2} = \frac{x^2 - (1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}$Тогда вся дробь равна: $\frac{\frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{-1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$Теперь перемножим части $T_2$:$T_2 = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{-1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+x^2)}$

Теперь соберём всё выражение $E = T_1 - T_2$:$E = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} - \left(\frac{-1}{\sqrt{x}(1+x^2)}\right) = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} + \frac{1}{\sqrt{x}(1+x^2)}$Приведём к общему знаменателю $\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)$:$E = \frac{x^3-1 + (x+1)}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} = \frac{x^3+x}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}$Вынесем $x$ в числителе за скобку:$E = \frac{x(x^2+1)}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}$Сократим на $(x^2+1)$, так как $x=1/9 > 0$, то $x^2+1 \neq 0$:$E = \frac{x}{\sqrt{x}(x+1)} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+1)} = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$

Теперь найдём значение выражения при $x = \frac{1}{9}$:$\sqrt{x} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$x+1 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$$E = \frac{1/3}{10/9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{10} = 0.3$

Ответ: $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$; $0.3$.

б) Данное выражение, скорее всего, содержит опечатки, так как в исходном виде его упрощение крайне затруднительно. Наиболее вероятная опечатка находится в знаменателе первой дроби в скобках. Будем решать задачу с учётом исправления: знаменатель первой дроби должен быть $x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{4}{3}}$.

Введём замены для упрощения: пусть $u = x^{\frac{1}{3}}$ и $v = a^{\frac{2}{3}}$.Найдём значения $u$ и $v$ при заданных $a = \sqrt{0.027}$ и $x = \frac{1}{27}$.$u = \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.$a = \sqrt{0.027} = \sqrt{\frac{27}{1000}} = (0.3^3)^{\frac{1}{2}} = 0.3^{\frac{3}{2}}$.$v = a^{\frac{2}{3}} = (0.3^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 0.3 = \frac{3}{10}$.Выражение с учётом исправленной опечатки и замен:$ \left( \frac{u^2 - v^2}{(u+v)^2} + \frac{u - 4v^2}{v^2 - u^2} - \frac{v^2 - 2u^3}{u^3 - v^2u} - 2 \right) \cdot \frac{u^2 - v^2}{6v - 2} $Упростим выражение в скобках.Первый член: $\frac{u^2 - v^2}{(u+v)^2} = \frac{(u-v)(u+v)}{(u+v)^2} = \frac{u-v}{u+v}$.Рассмотрим сумму второго и третьего членов (в исходном виде):$S = \frac{u-4v^2}{v^2-u^2} - \frac{v^2-2u^3}{u(u^2-v^2)} = \frac{-u(u-4v^2) - (v^2-2u^3)}{u(u^2-v^2)} = \frac{-u^2+4uv^2-v^2+2u^3}{u(u^2-v^2)}$.Заметим, что упрощение этого выражения зависит от значения $x$. Подставим $u = 1/3$:Числитель: $2(\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + 4(\frac{1}{3})v^2 - v^2 = \frac{2}{27} - \frac{1}{9} + \frac{4}{3}v^2 - v^2 = -\frac{1}{27} + \frac{1}{3}v^2 = \frac{1}{3}(v^2 - \frac{1}{9})$.Знаменатель: $u(u^2-v^2) = \frac{1}{3}((\frac{1}{3})^2-v^2) = \frac{1}{3}(\frac{1}{9}-v^2)$.Тогда $S = \frac{\frac{1}{3}(v^2 - \frac{1}{9})}{\frac{1}{3}(\frac{1}{9}-v^2)} = -1$.Выражение в скобках становится: $\frac{u-v}{u+v} - 1 - 2 = \frac{u-v}{u+v} - 3 = \frac{u-v-3(u+v)}{u+v} = \frac{-2u-4v}{u+v} = \frac{-2(u+2v)}{u+v}$.Теперь умножим это на второй множитель:$ \frac{-2(u+2v)}{u+v} \cdot \frac{u^2 - v^2}{6v - 2} = \frac{-2(u+2v)}{u+v} \cdot \frac{(u-v)(u+v)}{2(3v-1)} = \frac{-(u+2v)(u-v)}{3v-1} $Раскроем скобки в числителе: $-(u^2-uv+2uv-2v^2) = -(u^2+uv-2v^2) = 2v^2-uv-u^2$.Итоговое упрощённое выражение: $\frac{2v^2-uv-u^2}{3v-1}$.Подставим значения $u=1/3$ и $v=3/10$:Числитель: $2(\frac{3}{10})^2 - (\frac{1}{3})(\frac{3}{10}) - (\frac{1}{3})^2 = 2(\frac{9}{100}) - \frac{1}{10} - \frac{1}{9} = \frac{18}{100} - \frac{10}{100} - \frac{1}{9} = \frac{8}{100} - \frac{1}{9} = \frac{2}{25} - \frac{1}{9} = \frac{18-25}{225} = -\frac{7}{225}$.Знаменатель: $3(\frac{3}{10})-1 = \frac{9}{10}-1 = -\frac{1}{10}$.Итоговое значение: $\frac{-7/225}{-1/10} = \frac{7}{225} \cdot 10 = \frac{70}{225} = \frac{14}{45}$.

Ответ: $\frac{14}{45}$.

9.1. Постройте график функции:

а) $y = x^{10}$;

б) $y = x^{\frac{1}{4}}$;

в) $y = x^{-\frac{1}{2}}$;

г) $y = x^{-4}.$

а) $y = x^{10}$

Это степенная функция вида $y = x^p$ с показателем $p = 10$. Так как показатель является четным натуральным числом, график этой функции имеет следующие свойства:

1. Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как любое число можно возвести в десятую степень.

2. Область значений: так как показатель степени четный, $x^{10} \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Четность: функция является четной, поскольку $y(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

4. Ключевые точки:
- График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$, так как $0^{10} = 0$.
- График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$, так как $1^{10} = 1$ и $(-1)^{10} = 1$.
- При $x \in (-1, 1)$, значения $y$ очень малы. Например, при $x = 0.5$, $y = (0.5)^{10} = 1/1024$. Это значит, что вблизи нуля график "прижимается" к оси абсцисс.
- При $|x| > 1$, значения $y$ очень быстро растут. Например, при $x = 2$, $y = 2^{10} = 1024$. Это значит, что ветви графика круто уходят вверх.

Построение графика: График похож на параболу $y = x^2$, но имеет более плоское "дно" в интервале $(-1, 1)$ и более крутые ветви при $|x| > 1$. Это U-образная кривая, симметричная относительно оси Oy, проходящая через точки $(-1; 1), (0; 0), (1; 1)$.

Ответ: График функции $y=x^{10}$ — это кривая, похожая на параболу, симметричная относительно оси Oy. Она проходит через точки $(0;0)$, $(1;1)$ и $(-1;1)$. По сравнению с параболой $y=x^2$, график $y=x^{10}$ более плоский вблизи нуля и растет гораздо быстрее при $|x|>1$.

б) $y = x^{\frac{1}{4}}$

Эту функцию можно записать в виде $y = \sqrt[4]{x}$. Это степенная функция $y = x^p$ с дробным показателем $p = 1/4$.

1. Область определения: корень четной степени (в данном случае четвертой) определен только для неотрицательных чисел. Поэтому область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: арифметический корень всегда неотрицателен, поэтому область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Свойства: функция не является ни четной, ни нечетной, так как определена только для $x \ge 0$. Весь график лежит в первой координатной четверти.

4. Ключевые точки:
- График начинается в точке $(0; 0)$, так как $\sqrt[4]{0} = 0$.
- График проходит через точку $(1; 1)$, так как $\sqrt[4]{1} = 1$.
- Для удобства построения можно взять точки, из которых легко извлекается корень четвертой степени: при $x = 16$, $y = \sqrt[4]{16} = 2$.
- Функция возрастает на всей области определения.

Построение графика: График представляет собой ветвь, выходящую из начала координат и идущую вправо и вверх. Кривая является выпуклой вверх (вогнутой). Рост функции замедляется по мере увеличения $x$. График функции $y=x^{1/4}$ является графиком функции $x=y^4$ для $y \ge 0$. Это похоже на "лежачую" параболу, у которой взята только верхняя ветвь.

Ответ: График функции $y=x^{\frac{1}{4}}$ — это ветвь кривой, расположенная в первой координатной четверти. Она начинается в точке $(0;0)$, проходит через точку $(1;1)$ и $(16;2)$. Кривая возрастает, но медленнее, чем больше $x$. График является выпуклым вверх.

в) $y = x^{\frac{1}{2}}$

Эту функцию можно записать в виде $y = \sqrt{x}$. Это степенная функция $y = x^p$ с дробным показателем $p = 1/2$.

1. Область определения: квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Поэтому область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Свойства: функция не является ни четной, ни нечетной. Весь график расположен в первой координатной четверти.

4. Ключевые точки:
- График начинается в точке $(0; 0)$, так как $\sqrt{0} = 0$.
- График проходит через точку $(1; 1)$, так как $\sqrt{1} = 1$.
- Удобные точки для построения: $(4; 2)$, так как $\sqrt{4} = 2$; $(9; 3)$, так как $\sqrt{9} = 3$.
- Функция является возрастающей на всей области определения.

Построение графика: График представляет собой верхнюю половину параболы $x = y^2$, которая "лежит на боку" и открывается вправо. Кривая выходит из начала координат и плавно поднимается вверх и вправо. Она также выпукла вверх (вогнута). По сравнению с графиком $y=x^{1/4}$, этот график растет быстрее.

Ответ: График функции $y=x^{\frac{1}{2}}$ (или $y=\sqrt{x}$) — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0;0)$, проходит через точки $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$ и расположен в первой координатной четверти.

г) $y = x^{-4}$

Эту функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^4}$. Это степенная функция $y = x^p$ с целым отрицательным показателем $p = -4$.

1. Область определения: знаменатель дроби не может быть равен нулю, т.е. $x^4 \ne 0$, откуда $x \ne 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: поскольку $x^4 > 0$ для всех $x \ne 0$, то и $y = \frac{1}{x^4} > 0$. Таким образом, область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy). При $x \to 0$ (справа или слева), $x^4 \to 0^+$, а $y \to +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox). При $x \to \pm\infty$, $x^4 \to +\infty$, а $y \to 0^+$.

5. Ключевые точки:
- График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$, так как $1^{-4}=1$ и $(-1)^{-4}=1$.
- При $x=2$, $y = 2^{-4} = 1/16$. При $x=-2$, $y = (-2)^{-4} = 1/16$.
- При $x=1/2$, $y = (1/2)^{-4} = 16$. При $x=-1/2$, $y = (-1/2)^{-4} = 16$.

Построение графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ветви симметричны относительно оси Oy. В первой четверти кривая проходит через точку $(1;1)$, приближаясь к оси Oy при $x \to 0^+$ и к оси Ox при $x \to +\infty$. Вторая ветвь во второй четверти является ее зеркальным отражением.

Ответ: График функции $y=x^{-4}$ состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальной асимптотой. График проходит через точки $(1;1)$ и $(-1;1)$.

9.2. Постройте и сравните графики функций:

а) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}};

б) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$.

а) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень из $x$) и функция $y = x^{\frac{1}{3}}$ (степенная функция с рациональным показателем) являются двумя разными записями одной и той же функции.

Рассмотрим свойства этой функции:

• Область определения: Кубический корень определен для любых действительных чисел, так как можно извлечь корень нечетной степени из отрицательного числа. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Множество значений функции также охватывает все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

График функции проходит через начало координат. Он похож на график функции $y=x^3$, но повернут на 90 градусов и отражен относительно оси $y$.

Сравнение: Поскольку обе записи, $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$, определяют одну и ту же функцию для всех действительных чисел $x$, их графики полностью совпадают.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ полностью совпадают.

б) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$

Функция $y = \sqrt[4]{x}$ (арифметический корень четвертой степени из $x$) и функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ (степенная функция с рациональным показателем) также являются двумя записями одной и той же функции.

Рассмотрим свойства этой функции:

• Область определения: Корень четной степени (в данном случае, четвертой) определен только для неотрицательных чисел, так как в действительных числах нельзя получить отрицательное число при возведении в четную степень. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$. По определению, степенная функция $y=x^a$ с дробным показателем $a$ также определена для $x \ge 0$.
• Область значений: Арифметический корень всегда неотрицателен. Множество значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

График функции начинается в точке $(0, 0)$ и располагается в первой координатной четверти. Он представляет собой ветвь, похожую на параболу, "лежащую на боку".

Сравнение: Обе записи, $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$, по определению задают одну и ту же функцию на области определения $x \ge 0$. Следовательно, их графики полностью идентичны.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ полностью совпадают.