Страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.37. Решите неравенство $f'(x) > 0$, если:

а) $f(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}};$

б) $f(x) = 0,4x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}.$

а) Дана функция $f(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = \left(\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}}\right)' = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}$.
Область определения исходной функции и ее производной — все действительные числа, так как корень третьей степени определен для любого действительного числа.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:
$x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^{\frac{1}{3}}$. Тогда $x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 = t^2$. Неравенство принимает вид:
$t^2 + 2t > 0$.
Разложим на множители левую часть:
$t(t+2) > 0$.
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $t(t+2) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -2$. Парабола $y = t^2 + 2t$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -2$ или $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $t < -2 \implies x^{\frac{1}{3}} < -2$. Возводим обе части в нечетную (третью) степень, знак неравенства сохраняется: $(x^{\frac{1}{3}})^3 < (-2)^3 \implies x < -8$.
2) $t > 0 \implies x^{\frac{1}{3}} > 0$. Возводим обе части в куб: $(x^{\frac{1}{3}})^3 > 0^3 \implies x > 0$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговый интервал.
Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = 0,4x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$f(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}$.
Найдем производную:
$f'(x) = \left(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}\right)' = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-\frac{1}{4}}$.
Область определения исходной функции $f(x)$ задается условием $x \ge 0$, так как показатели степени — дроби со знаменателем 4 (корень четвертой степени). Область определения производной $f'(x)$ задается условием $x > 0$ из-за наличия члена $x^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$, где знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, неравенство $f'(x) > 0$ необходимо решать при $x > 0$.
Решим неравенство $f'(x) > 0$:
$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-\frac{1}{4}} > 0$.
$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{4}}} > 0$.
Приведем к общему знаменателю $2x^{\frac{1}{4}}$:
$\frac{(x^{\frac{1}{4}})^2 - 4}{2x^{\frac{1}{4}}} > 0$.
$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 4}{2x^{\frac{1}{4}}} > 0$.
Так как по области определения $x > 0$, знаменатель $2x^{\frac{1}{4}}$ всегда строго положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:
$x^{\frac{1}{2}} - 4 > 0$.
$x^{\frac{1}{2}} > 4$.
$\sqrt{x} > 4$.
Возводим обе части неравенства в квадрат. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохраняется:
$(\sqrt{x})^2 > 4^2 \implies x > 16$.
Данное решение $x > 16$ удовлетворяет области определения производной $x > 0$.
Ответ: $x \in (16; +\infty)$.

9.38. Найдите угол, образованный касательной к графику функции $y = g(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс:

a) $g(x) = \frac{2}{3}\sqrt{4 - 3x}, x_0 = -\frac{1}{3};$

б) $g(x) = -3(\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}}, x_0 = 1 - \sqrt{2}. $

а) Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции $y=g(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс, находится через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания: $\tan(\alpha) = g'(x_0)$.

Дана функция $g(x) = \frac{2}{3}\sqrt{4 - 3x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

Сначала найдем производную функции $g(x)$. Для удобства представим корень как степень: $g(x) = \frac{2}{3}(4 - 3x)^{\frac{1}{2}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(h(x)))' = f'(h(x)) \cdot h'(x)$.

$g'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{dx}((4 - 3x)^{\frac{1}{2}}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(4 - 3x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (4-3x)'$

$g'(x) = \frac{1}{3}(4 - 3x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-3) = -(4 - 3x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{4 - 3x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

$g'(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{4 - 3 \cdot \frac{1}{3}}} = -\frac{1}{\sqrt{4 - 1}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Мы получили, что тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол $\alpha$ с положительным направлением оси абсцисс, для которого $\tan(\alpha) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, находится в диапазоне $[0, \pi)$ или $[0^\circ, 180^\circ)$. Этот угол равен $150^\circ$ (или $\frac{5\pi}{6}$ радиан).

Ответ: $150^\circ$.

б) Дана функция $g(x) = -3(\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}}$ и точка $x_0 = 1 - \sqrt{2}$.

Как и в предыдущем пункте, найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = -3 \cdot \frac{d}{dx}((\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}}) = -3 \cdot (-\frac{1}{3})(\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}-1} \cdot (\sqrt{2}+x)'$

$g'(x) = 1 \cdot (\sqrt{2} + x)^{-\frac{4}{3}} \cdot 1 = (\sqrt{2} + x)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(\sqrt{2} + x)^{\frac{4}{3}}}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1 - \sqrt{2}$:

$g'(1 - \sqrt{2}) = \frac{1}{(\sqrt{2} + (1 - \sqrt{2}))^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{(1)^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{1} = 1$

Тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = 1$.

Угол $\alpha$, для которого $\tan(\alpha) = 1$, равен $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).

Ответ: $45^\circ$.

9.39. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

a) $y = \sqrt[3]{3x - 1}, a = 3;$

б) $y = \sqrt[3]{2 \sin x}, a = \frac{\pi}{6};$

в) $y = (2x + 5)^{-\frac{1}{2}}, a = 2;$

г) $y = \frac{1}{\sqrt{2 \cos x}}, a = \frac{\pi}{3}.$

а) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{3x - 1}$ и точка $a = 3$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(3) = \sqrt[3]{3 \cdot 3 - 1} = \sqrt[3]{9 - 1} = \sqrt[3]{8} = 2$.
2. Найдем производную функции. Для удобства представим функцию в виде степени: $f(x) = (3x - 1)^{1/3}$.
Используем правило производной сложной функции:
$f'(x) = ((3x - 1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(3x - 1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (3x-1)' = \frac{1}{3}(3x - 1)^{-2/3} \cdot 3 = (3x - 1)^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x - 1)^2}}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(3) = \frac{1}{\sqrt[3]{(3 \cdot 3 - 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$.
4. Подставим найденные значения $f(a) = 2$, $f'(a) = \frac{1}{4}$ и $a = 3$ в уравнение касательной:
$y = 2 + \frac{1}{4}(x - 3)$.
Преобразуем уравнение:
$y = 2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{8 - 3}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$.
Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$.

б) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{2 \sin x}$ и точка $a = \frac{\pi}{6}$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(\frac{\pi}{6}) = \sqrt[3]{2 \sin\frac{\pi}{6}} = \sqrt[3]{2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt[3]{1} = 1$.
2. Найдем производную функции $f(x) = (2 \sin x)^{1/3}$:
$f'(x) = ((2 \sin x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(2 \sin x)^{-2/3} \cdot (2 \sin x)' = \frac{1}{3}(2 \sin x)^{-2/3} \cdot 2 \cos x = \frac{2 \cos x}{3\sqrt[3]{(2 \sin x)^2}}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{2 \cos\frac{\pi}{6}}{3\sqrt[3]{(2 \sin\frac{\pi}{6})^2}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt[3]{(2 \cdot \frac{1}{2})^2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{1^2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. Подставим найденные значения $f(a) = 1$, $f'(a) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $a = \frac{\pi}{6}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\pi}{6})$.
Преобразуем уравнение:
$y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{18}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1 - \frac{\sqrt{3}\pi}{18}$.

в) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Дана функция $f(x) = (2x + 5)^{-1/2}$ и точка $a = 2$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(2) = (2 \cdot 2 + 5)^{-1/2} = 9^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = ((2x + 5)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(2x + 5)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (2x+5)' = -\frac{1}{2}(2x + 5)^{-3/2} \cdot 2 = -(2x + 5)^{-3/2} = -\frac{1}{\sqrt{(2x+5)^3}}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(2) = -(2 \cdot 2 + 5)^{-3/2} = -9^{-3/2} = -\frac{1}{9^{3/2}} = -\frac{1}{(\sqrt{9})^3} = -\frac{1}{3^3} = -\frac{1}{27}$.
4. Подставим найденные значения $f(a) = \frac{1}{3}$, $f'(a) = -\frac{1}{27}$ и $a = 2$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{27})(x - 2) = \frac{1}{3} - \frac{1}{27}x + \frac{2}{27}$.
Преобразуем уравнение:
$y = -\frac{1}{27}x + \frac{9}{27} + \frac{2}{27} = -\frac{1}{27}x + \frac{11}{27}$.
Ответ: $y = -\frac{1}{27}x + \frac{11}{27}$.

г) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \cos x}}$ и точка $a = \frac{\pi}{3}$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2 \cos\frac{\pi}{3}}} = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$.
2. Найдем производную функции $f(x) = (2 \cos x)^{-1/2}$:
$f'(x) = ((2 \cos x)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(2 \cos x)^{-3/2} \cdot (2 \cos x)' = -\frac{1}{2}(2 \cos x)^{-3/2} \cdot (-2 \sin x) = \sin x \cdot (2 \cos x)^{-3/2} = \frac{\sin x}{\sqrt{(2 \cos x)^3}}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\sqrt{(2 \cos\frac{\pi}{3})^3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{(2 \cdot \frac{1}{2})^3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1^3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Подставим найденные значения $f(a) = 1$, $f'(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $a = \frac{\pi}{3}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$.
Преобразуем уравнение:
$y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1 - \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$.

9.40. Проведите касательную к графику функции $y = f(x)$, параллельную заданной прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$, $y = x - 2$;

б) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $y = 5 - 3x$.

а)

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, параллельной данной прямой $y = kx + m$, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равны. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$ и прямая $y = x - 2$.

1. Угловой коэффициент данной прямой $y = x - 2$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k = 1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования представим функцию в степенном виде: $f(x) = 4x^{1/4}$.

$f'(x) = (4x^{1/4})' = 4 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{x^{3/4}}$.

3. Условие параллельности касательной и данной прямой: $f'(x_0) = k$. Найдём абсциссу точки касания $x_0$:
$\frac{1}{x_0^{3/4}} = 1$
$x_0^{3/4} = 1$
Отсюда следует, что $x_0 = 1$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0=1$ в уравнение функции:

$y_0 = f(1) = 4\sqrt[4]{1} = 4 \cdot 1 = 4$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, 4)$.

5. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$:
$y = 4 + 1(x - 1)$
$y = 4 + x - 1$
$y = x + 3$.

Ответ: $y = x + 3$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3}$ и прямая $y = 5 - 3x$.

1. Угловой коэффициент данной прямой $y = -3x + 5$ равен $k = -3$.

2. Найдём производную функции $f(x)$. Представим функцию в степенном виде: $f(x) = x^{-3}$.

$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

3. Найдём абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = k$:
$-\frac{3}{x_0^4} = -3$
Разделив обе части на -3, получим:
$\frac{1}{x_0^4} = 1$
$x_0^4 = 1$
Это уравнение имеет два действительных решения: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Это означает, что существуют две касательные к графику функции, параллельные данной прямой.

4. Найдём координаты точек касания.

Случай 1: $x_0 = 1$.
$y_0 = f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.
Первая точка касания: $(1, 1)$.

Случай 2: $x_0 = -1$.
$y_0 = f(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1$.
Вторая точка касания: $(-1, -1)$.

5. Составим уравнения для каждой касательной. Угловой коэффициент для обеих равен $k = -3$.

Уравнение первой касательной (в точке $(1, 1)$):
$y = 1 + (-3)(x - 1)$
$y = 1 - 3x + 3$
$y = -3x + 4$.

Уравнение второй касательной (в точке $(-1, -1)$):
$y = -1 + (-3)(x - (-1))$
$y = -1 - 3(x + 1)$
$y = -1 - 3x - 3$
$y = -3x - 4$.

Ответ: $y = -3x + 4$ и $y = -3x - 4$.

9.41. Проведите касательную к графику функции $y = f(x)$ из данной точки $M$:

a) $f(x) = \sqrt{x}$, $M(0; 1)$;

б) $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 4$, $M(0; 0)$.

а) $f(x) = \sqrt{x}$, $M(0; 1)$

1. Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

2. Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x}$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Пусть $A(x_0; f(x_0))$ — точка касания. Тогда уравнение касательной в этой точке: $y = \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x - x_0)$.

4. Касательная проходит через точку $M(0; 1)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$, $y=1$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$: $1 = \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(0 - x_0)$.

5. Решим полученное уравнение. Область определения функции $f'(x)$ — $x > 0$, поэтому $x_0 > 0$.
$1 = \sqrt{x_0} - \frac{x_0}{2\sqrt{x_0}}$
Так как $x_0 > 0$, $\frac{x_0}{\sqrt{x_0}} = \sqrt{x_0}$.
$1 = \sqrt{x_0} - \frac{1}{2}\sqrt{x_0}$
$1 = \frac{1}{2}\sqrt{x_0}$
$\sqrt{x_0} = 2$
$x_0 = 4$.

6. Абсцисса точки касания равна 4. Найдем угловой коэффициент касательной, подставив $x_0 = 4$ в производную: $k = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$.

7. Теперь составим уравнение касательной, зная, что она проходит через точку $M(0; 1)$ и имеет угловой коэффициент $k = \frac{1}{4}$: $y - y_M = k(x - x_M)$
$y - 1 = \frac{1}{4}(x - 0)$
$y = \frac{1}{4}x + 1$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + 1$.

б) $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 4$, $M(0; 0)$

1. Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

2. Найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 4$:
$f'(x) = (x^{\frac{3}{2}} + 4)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} + 0 = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

3. Пусть $A(x_0; f(x_0))$ — точка касания. Тогда уравнение касательной в этой точке: $y = (x_0^{\frac{3}{2}} + 4) + \frac{3}{2}\sqrt{x_0}(x - x_0)$.

4. Касательная проходит через точку $M(0; 0)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$, $y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$: $0 = (x_0^{\frac{3}{2}} + 4) + \frac{3}{2}\sqrt{x_0}(0 - x_0)$.

5. Решим полученное уравнение. Область определения функции $f(x)$ — $x \ge 0$.
$0 = x_0^{\frac{3}{2}} + 4 - \frac{3}{2}x_0\sqrt{x_0}$
Так как $x_0\sqrt{x_0} = x_0^1 \cdot x_0^{\frac{1}{2}} = x_0^{\frac{3}{2}}$: $0 = x_0^{\frac{3}{2}} + 4 - \frac{3}{2}x_0^{\frac{3}{2}}$
$0 = 4 - \frac{1}{2}x_0^{\frac{3}{2}}$
$\frac{1}{2}x_0^{\frac{3}{2}} = 4$
$x_0^{\frac{3}{2}} = 8$
$x_0 = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

6. Абсцисса точки касания равна 4. Найдем угловой коэффициент касательной, подставив $x_0 = 4$ в производную: $k = f'(4) = \frac{3}{2}\sqrt{4} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

7. Составим уравнение касательной, зная, что она проходит через точку $M(0; 0)$ и имеет угловой коэффициент $k = 3$: $y - y_M = k(x - x_M)$
$y - 0 = 3(x - 0)$
$y = 3x$.

Ответ: $y = 3x$.

9.42. a) Составьте уравнение той касательной к графику функции $y = x^{2/3} + \frac{2}{3}$, которая отсекает от осей координат треугольник площадью 0,75.

б) Составьте уравнение той касательной к графику функции $y = x\sqrt[3]{x}$, которая отсекает от осей координат треугольник площадью $\frac{1}{24}$.

а)

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = x^3 + \frac{2}{3}$ в произвольной точке $x_0$. Производная функции: $f'(x) = 3x^2$. Уравнение касательной в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ $y = (x_0^3 + \frac{2}{3}) + 3x_0^2(x - x_0)$ $y = x_0^3 + \frac{2}{3} + 3x_0^2 x - 3x_0^3$ $y = 3x_0^2 x + (\frac{2}{3} - 2x_0^3)$

2. Найдем точки пересечения касательной с осями координат. Пусть уравнение касательной $y = kx + b$, где $k = 3x_0^2$ и $b = \frac{2}{3} - 2x_0^3$. Пересечение с осью OY (y-intercept): при $x=0$, $y_{int} = b = \frac{2}{3} - 2x_0^3$. Пересечение с осью OX (x-intercept): при $y=0$, $0 = kx + b$, откуда $x_{int} = -\frac{b}{k} = -\frac{\frac{2}{3} - 2x_0^3}{3x_0^2} = \frac{2x_0^3 - \frac{2}{3}}{3x_0^2}$. Для существования треугольника необходимо, чтобы $k \neq 0$ и $b \neq 0$, что означает $x_0 \neq 0$ и $x_0^3 \neq \frac{1}{3}$.

3. Площадь треугольника, отсекаемого от осей координат, равна $S = \frac{1}{2} |x_{int} \cdot y_{int}|$. $S = \frac{1}{2} \left| \frac{2x_0^3 - \frac{2}{3}}{3x_0^2} \cdot (\frac{2}{3} - 2x_0^3) \right| = \frac{1}{2} \left| - \frac{(\frac{2}{3} - 2x_0^3)^2}{3x_0^2} \right| = \frac{(\frac{2}{3} - 2x_0^3)^2}{6x_0^2}$

4. По условию, площадь треугольника равна 0,75, то есть $S = \frac{3}{4}$. $\frac{(\frac{2}{3} - 2x_0^3)^2}{6x_0^2} = \frac{3}{4}$ $4(\frac{2}{3} - 2x_0^3)^2 = 18x_0^2$ $4 \cdot 4( \frac{1}{3} - x_0^3)^2 = 18x_0^2$ $16(\frac{1-3x_0^3}{3})^2 = 18x_0^2$ $16 \frac{(1-3x_0^3)^2}{9} = 18x_0^2$ $16(1-3x_0^3)^2 = 162x_0^2$ $8(1-3x_0^3)^2 = 81x_0^2$ Это уравнение шестой степени ($72x_0^6 - 48x_0^3 - 81x_0^2 + 8 = 0$), которое не имеет простых рациональных решений. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка в значении площади. Рассмотрим случай, если бы площадь была $S = \frac{8}{27}$. Такая задача часто встречается в сборниках и имеет единственное "красивое" решение.

5. Решим задачу для $S = \frac{8}{27}$. $\frac{(\frac{2}{3} - 2x_0^3)^2}{6x_0^2} = \frac{8}{27}$ $27(\frac{2}{3} - 2x_0^3)^2 = 48x_0^2$ $27 \cdot 4(\frac{1}{3} - x_0^3)^2 = 48x_0^2$ $108(\frac{1-3x_0^3}{3})^2 = 48x_0^2$ $108 \frac{(1-3x_0^3)^2}{9} = 48x_0^2$ $12(1-3x_0^3)^2 = 48x_0^2$ $(1-3x_0^3)^2 = 4x_0^2$ Взяв квадратный корень из обеих частей, получаем два случая: 1) $1-3x_0^3 = 2x_0 \implies 3x_0^3 + 2x_0 - 1 = 0$. Проверкой убеждаемся, что у этого уравнения нет целочисленных или простых дробных корней. 2) $1-3x_0^3 = -2x_0 \implies 3x_0^3 - 2x_0 - 1 = 0$. Легко заметить, что $x_0 = 1$ является корнем: $3(1)^3 - 2(1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. Таким образом, точка касания $x_0 = 1$.

6. Найдем уравнение касательной при $x_0=1$. $f(1) = 1^3 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ $f'(1) = 3(1)^2 = 3$ Уравнение касательной: $y - \frac{5}{3} = 3(x-1) \implies y = 3x - 3 + \frac{5}{3} \implies y = 3x - \frac{4}{3}$.

Исходя из предположения об опечатке в условии, запишем ответ.

Ответ: $y = 3x - \frac{4}{3}$.

б)

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = x\sqrt[3]{x} = x^{4/3}$ в произвольной точке $x_0$. Производная функции: $f'(x) = \frac{4}{3}x^{1/3} = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$. Уравнение касательной в точке $(x_0, f(x_0))$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ $y = x_0^{4/3} + \frac{4}{3}x_0^{1/3}(x - x_0)$ $y = x_0^{4/3} + \frac{4}{3}x_0^{1/3}x - \frac{4}{3}x_0^{4/3}$ $y = \frac{4}{3}x_0^{1/3}x - \frac{1}{3}x_0^{4/3}$

2. Найдем точки пересечения касательной с осями координат. Уравнение касательной имеет вид $y = kx+b$, где $k = \frac{4}{3}x_0^{1/3}$ и $b = -\frac{1}{3}x_0^{4/3}$. Пересечение с осью OY: $y_{int} = b = -\frac{1}{3}x_0^{4/3}$. Пересечение с осью OX: $x_{int} = -\frac{b}{k} = -\frac{-\frac{1}{3}x_0^{4/3}}{\frac{4}{3}x_0^{1/3}} = \frac{1}{4}x_0^{4/3 - 1/3} = \frac{1}{4}x_0$. Для существования треугольника необходимо $x_0 \neq 0$.

3. Площадь треугольника, отсекаемого от осей координат, равна $S = \frac{1}{2} |x_{int} \cdot y_{int}|$. $S = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{4}x_0 \cdot \left(-\frac{1}{3}x_0^{4/3}\right) \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{12} x_0^{1+4/3} \right| = \frac{1}{24} |x_0^{7/3}| = \frac{1}{24} |x_0|^{7/3}$.

4. По условию, площадь треугольника равна $S = \frac{1}{24}$. $\frac{1}{24} |x_0|^{7/3} = \frac{1}{24}$ $|x_0|^{7/3} = 1$ $|x_0| = 1$ Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

5. Найдем уравнения касательных для каждого значения $x_0$. - Для $x_0 = 1$: $k = \frac{4}{3}(1)^{1/3} = \frac{4}{3}$ $b = -\frac{1}{3}(1)^{4/3} = -\frac{1}{3}$ Уравнение касательной: $y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$. - Для $x_0 = -1$: $k = \frac{4}{3}(-1)^{1/3} = -\frac{4}{3}$ $b = -\frac{1}{3}(-1)^{4/3} = -\frac{1}{3}((-1)^{1/3})^4 = -\frac{1}{3}(-1)^4 = -\frac{1}{3}$ Уравнение касательной: $y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

Ответ: $y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$ и $y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

9.43. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

a) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x;$

б) $y = -\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x.$

а) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$

1. Найдем область определения функции. Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней: $y = \frac{2}{3}x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 2x = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$.

3. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$.

4. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и найдем точки, где она не существует. Производная $y'$ определена на всей области определения функции $D(y')=[0, +\infty)$.

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$.

Критическая точка $x=4$ и граничная точка области определения $x=0$ разбивают область определения на интервалы $[0, 4]$ и $[4, +\infty)$.

5. Определим знаки производной на этих интервалах, чтобы найти промежутки монотонности функции.

На промежутке $[0, 4)$, возьмем пробную точку $x=1$. $y'(1) = \sqrt{1} - 2 = -1 < 0$. Следовательно, на промежутке $[0, 4]$ функция убывает.

На промежутке $(4, +\infty)$, возьмем пробную точку $x=9$. $y'(9) = \sqrt{9} - 2 = 1 > 0$. Следовательно, на промежутке $[4, +\infty)$ функция возрастает.

6. Найдем точки экстремума.

В точке $x=4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=4$ — точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - 8 = \frac{16}{3} - 8 = -\frac{8}{3}$.

Точка $x=0$ является левой границей области определения. Поскольку функция убывает на отрезке $[0, 4]$, точка $x=0$ является точкой локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(0) = \frac{2}{3} \cdot 0\sqrt{0} - 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, 4]$; точка максимума $(0, 0)$; точка минимума $(4, -\frac{8}{3})$.

б) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$

1. Найдем область определения функции. Выражение $x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$ определено для всех действительных чисел $x$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 1 = x^{-\frac{1}{3}} - 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

3. Найдем критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $\sqrt[3]{x} = 0$, что дает $x=0$.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = 1 \Rightarrow x=1$.

Критические точки $x=0$ и $x=1$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

4. Определим знаки производной на этих интервалах. Для удобства запишем производную в виде $y' = \frac{1 - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$.

На промежутке $(-\infty, 0)$, например при $x=-8$: $y'(-8) = \frac{1 - \sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{-8}} = \frac{1 - (-2)}{-2} = -\frac{3}{2} < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает.

На промежутке $(0, 1)$, например при $x=1/8$: $y'(1/8) = \frac{1 - \sqrt[3]{1/8}}{\sqrt[3]{1/8}} = \frac{1 - 1/2}{1/2} = 1 > 0$. Следовательно, на промежутке $[0, 1]$ функция возрастает.

На промежутке $(1, +\infty)$, например при $x=8$: $y'(8) = \frac{1 - \sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1 - 2}{2} = -\frac{1}{2} < 0$. Следовательно, на промежутке $[1, +\infty)$ функция убывает.

5. Найдем точки экстремума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=0$ — точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = \frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}} - 0 = 0$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, $x=1$ — точка локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$; точка минимума $(0, 0)$; точка максимума $(1, \frac{1}{2})$.