Страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Как вычислить $a^{\frac{p}{q}}$, где $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $a \ge 0$?

1.

Чтобы вычислить значение выражения $a^{\frac{p}{q}}$, где $a \ge 0$, а $\frac{p}{q}$ – обыкновенная дробь (будем считать, что $p$ – целое число, а $q$ – натуральное число, $q \ge 2$), необходимо воспользоваться определением степени с рациональным показателем.

Степень числа $a$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ определяется как корень $q$-й степени из числа $a$, возведенного в степень $p$.

Это можно записать в виде формулы:
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

Эта формула является основным правилом для вычисления таких выражений. Порядок действий следующий:
1. Возвести основание $a$ в степень $p$ (числитель дроби).
2. Извлечь из полученного результата корень степени $q$ (знаменатель дроби).

Существует и второй, часто более удобный для вычислений, способ. Можно сначала извлечь корень, а затем возвести в степень:
$a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$

Этот способ удобен, если из числа $a$ легко извлекается корень $q$-й степени. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Пример:
Вычислим $27^{\frac{2}{3}}$.
Здесь $a = 27$, $p = 2$, $q = 3$.

Способ 1: $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$
$27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729}$
Поскольку $9 \times 9 \times 9 = 729$, то $\sqrt[3]{729} = 9$.

Способ 2: $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$
$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2$
Сначала находим кубический корень из 27: $\sqrt[3]{27} = 3$.
Затем возводим результат в квадрат: $3^2 = 9$.

Как видно, второй способ в данном случае оказался проще, так как не пришлось работать с большим числом 729.

Условие $a \ge 0$ является важным, так как для отрицательных $a$ корень четной степени ($q$ - четное число) в области действительных чисел не определен.

Ответ: Чтобы вычислить $a^{\frac{p}{q}}$, где $a \ge 0$, нужно извлечь из числа $a$ корень степени $q$ и результат возвести в степень $p$, то есть $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$. Или, что то же самое, возвести число $a$ в степень $p$ и из результата извлечь корень степени $q$: $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.

2. Какова область допустимых значений переменной в выражении $(a - 2)^{\frac{2}{3}}$?

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной — это множество всех значений переменной, при которых выражение имеет математический смысл.

Рассмотрим выражение $(a - 2)^{\frac{2}{3}}$.

Выражение со степенным показателем вида $x^{\frac{m}{n}}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное, принято записывать в виде корня: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

Применим это правило к нашему выражению, где в качестве основания степени $x$ выступает $(a-2)$, а показатель степени равен $\frac{2}{3}$:

$(a - 2)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(a - 2)^2}$

Теперь проанализируем получившееся выражение $\sqrt[3]{(a - 2)^2}$.

1. Внутренняя операция — возведение в квадрат: $(a-2)^2$. Эта операция определена для любого действительного числа $a$. Результат этой операции всегда будет неотрицательным числом, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$.

2. Внешняя операция — извлечение кубического корня ($\sqrt[3]{...}$). Корень нечетной степени (в данном случае степень корня равна 3) определен для любого действительного подкоренного выражения, будь оно положительным, отрицательным или равным нулю.

Поскольку подкоренное выражение $(a-2)^2$ определено для любого $a$ и корень третьей степени из любого полученного значения также определен, никаких ограничений на переменную $a$ не накладывается.

Таким образом, область допустимых значений для переменной $a$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$

3. Как вычислить $a^{\frac{p}{q}}$, где $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $a > 0$?

Выражение $a^{\frac{p}{q}}$, где $a > 0$, а $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь (или, в общем виде, рациональное число), вычисляется на основе определения степени с рациональным показателем. Это определение устанавливает связь между возведением в дробную степень, возведением в целую степень и извлечением арифметического корня.

По определению, степень числа $a$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ равна корню $q$-й степени из числа $a$, возведенного в степень $p$.

Формула для вычисления выглядит так:

$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

Здесь:

• $a$ — основание степени, являющееся положительным числом ($a > 0$).
• $p$ — числитель дроби, который определяет степень, в которую возводится основание. $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$).
• $q$ — знаменатель дроби, который определяет степень корня. $q$ — натуральное число, большее или равное 2 ($q \in \mathbb{N}, q \geq 2$).

Существует два равнозначных способа вычисления, вытекающих из свойств степеней:

1. Сначала возведение в степень, затем извлечение корня.
   Сначала нужно возвести основание $a$ в степень $p$, а после этого извлечь из полученного результата корень степени $q$.
   $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$
2. Сначала извлечение корня, затем возведение в степень.
   Сначала нужно извлечь корень степени $q$ из основания $a$, а затем полученный результат возвести в степень $p$.
   $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$

Второй способ на практике часто оказывается удобнее, так как вычисления проводятся с меньшими числами.

Пример:

Допустим, нам нужно вычислить $8^{\frac{2}{3}}$.

В данном случае $a = 8$, $p = 2$, $q = 3$.

Используем первый способ:

$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64}$

Поскольку $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.

Используем второй способ:

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2$

Сначала извлекаем корень: $\sqrt[3]{8} = 2$.

Затем возводим результат в степень: $2^2 = 4$.

Как видно, оба способа дают одинаковый результат.

Условие $a > 0$ является обязательным, так как в области действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не определен (например, выражение $(-16)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-16}$ не имеет смысла).

Ответ: Чтобы вычислить $a^{\frac{p}{q}}$, где $a>0$, нужно извлечь корень $q$-й степени из $a$ и полученный результат возвести в степень $p$. Альтернативно, можно сначала возвести $a$ в степень $p$, а затем из результата извлечь корень $q$-й степени. Формулы: $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$ или $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.

4. Какова область допустимых значений переменной в выражении $(a+1)^{-\frac{1}{5}}$?

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной — это множество всех значений переменной, при которых данное математическое выражение имеет смысл.

Рассмотрим выражение $(a + 1)^{-\frac{1}{5}}$.

Это степенное выражение с рациональным показателем. По определению, выражение $x^r$, где $r$ — рациональное нецелое число, определено для $x > 0$. В нашем случае основание степени — это $(a+1)$, а показатель степени — $r = -\frac{1}{5}$.

Поскольку показатель степени является нецелым числом, основание степени должно быть строго положительным:

$a + 1 > 0$

Давайте разберемся, почему именно строгое неравенство. Выражение можно переписать, используя свойства степеней:

$(a + 1)^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{(a + 1)^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{a+1}}$

Из этой формы мы видим два условия:

1. Подкоренное выражение для корня нечетной степени ($\sqrt[5]{...}$) может быть любым действительным числом.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Совместим эти условия. Знаменатель $\sqrt[5]{a+1}$ равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю:

$a + 1 = 0 \implies a = -1$

Таким образом, мы должны исключить значение $a = -1$.

Однако, стандартное определение степени с рациональным показателем в школьном курсе и в анализе требует, чтобы основание было положительным ($a+1 > 0$), чтобы избежать таких неоднозначностей, как $(-8)^{\frac{2}{6}}$, и для корректного определения свойств степени. При $a+1 \le 0$ выражение считается неопределенным.

Поэтому мы должны потребовать, чтобы основание степени было строго положительным:

$a + 1 > 0$

Решим это неравенство:

$a > -1$

Это условие автоматически исключает случай равенства нулю, при котором знаменатель обращается в ноль. Таким образом, область допустимых значений для переменной $a$ — это все числа, которые больше -1.

Ответ: $a > -1$, или в виде интервала $a \in (-1; +\infty)$.

5. Вычислите $8^{\frac{2}{3}}$, описав последовательность своих действий.

Для вычисления значения выражения $8^{\frac{2}{3}}$ необходимо использовать свойства степени с рациональным показателем. Задача может быть решена несколькими способами, каждый из которых представляет собой определенную последовательность действий.

Способ 1: Извлечение корня с последующим возведением в степень

Данный метод основан на свойстве $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае $a=8$, $m=2$, $n=3$.

Действие 1: Вычислить корень, степень которого равна знаменателю дроби-показателя (3), из основания (8).
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2 \times 2 \times 2 = 8$.

Действие 2: Полученный результат (2) возвести в степень, равную числителю дроби-показателя (2).
$2^2 = 4$.

Способ 2: Возведение в степень с последующим извлечением корня

Этот метод основан на эквивалентном свойстве $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Действие 1: Возвести основание (8) в степень, равную числителю дроби-показателя (2).
$8^2 = 64$.

Действие 2: Извлечь из полученного результата (64) корень, степень которого равна знаменателю дроби-показателя (3).
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4 \times 4 \times 4 = 64$.

Способ 3: Использование свойств степеней

Этот метод заключается в упрощении выражения через преобразование основания.

Действие 1: Представить основание 8 в виде степени. Поскольку $2^3 = 8$, мы можем заменить 8 на $2^3$.
$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}}$.

Действие 2: Применить свойство возведения степени в степень $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$. Для этого нужно перемножить показатели степеней.
$(2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2$.

Действие 3: Вычислить полученное значение.
$2^2 = 4$.

Все три последовательности действий приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $4$

10.15. Запишите в тригонометрической форме тот из корней $\sqrt[6]{z}$, который принадлежит:

а) первой четверти; $z = -i$;

б) второй четверти; $z = 0.5(i - \sqrt{3})$;

в) второй четверти; $z = 8i$;

г) третьей четверти; $z = -13.5(i + \sqrt{3})$.

Для решения задачи воспользуемся формулой Муавра для извлечения корней из комплексного числа. Если комплексное число $z$ представлено в тригонометрической форме $z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его $n$ корней $n$-й степени $w_k$ находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В данной задаче мы ищем корни шестой степени, то есть $n=6$.

а) первой четверти; z = -i

Сначала представим число $z = -i$ в тригонометрической форме.

Алгебраическая форма числа: $z = 0 - 1 \cdot i$.Модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$.Аргумент числа $z$: точка $(0, -1)$ на комплексной плоскости лежит на отрицательной мнимой оси, следовательно, главный аргумент $\varphi = \arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.Тригонометрическая форма: $z = 1 \cdot \left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Корни шестой степени из $z$ имеют вид:$w_k = \sqrt[6]{1} \left( \cos\left(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{6}\right) \right) = \cos\left(\frac{-\pi + 4\pi k}{12}\right) + i\sin\left(\frac{-\pi + 4\pi k}{12}\right)$.Аргумент корня $w_k$ равен $\theta_k = \frac{4\pi k - \pi}{12}$.

Нам нужен корень, принадлежащий первой четверти, то есть его аргумент $\theta_k$ должен удовлетворять неравенству $0 < \theta_k < \frac{\pi}{2}$.$0 < \frac{4\pi k - \pi}{12} < \frac{\pi}{2}$.Разделим все части неравенства на $\pi$ и умножим на 12:$0 < 4k - 1 < 6$.Прибавим 1 ко всем частям:$1 < 4k < 7$.Разделим на 4:$\frac{1}{4} < k < \frac{7}{4}$.Единственное целое значение $k$ в этом интервале, при $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, это $k=1$.

Подставим $k=1$ в формулу для $w_k$:$w_1 = \cos\left(\frac{4\pi \cdot 1 - \pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi \cdot 1 - \pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

б) второй четверти; z = 0,5(i - √3)

Представим число $z = 0,5(-\sqrt{3} + i) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ в тригонометрической форме.

Модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$.Аргумент числа $z$: так как $\cos\varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{2}$, точка находится во второй четверти, и $\varphi = \arg(z) = \frac{5\pi}{6}$.Тригонометрическая форма: $z = 1 \cdot \left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$.

Корни шестой степени из $z$:$w_k = \cos\left(\frac{5\pi/6 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi/6 + 2\pi k}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi + 12\pi k}{36}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi + 12\pi k}{36}\right)$.Аргумент корня $\theta_k = \frac{5\pi + 12\pi k}{36}$.

Ищем корень во второй четверти, где $\frac{\pi}{2} < \theta_k < \pi$.$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi + 12\pi k}{36} < \pi$.$\frac{1}{2} < \frac{5 + 12k}{36} < 1$.$18 < 5 + 12k < 36$.$13 < 12k < 31$.$\frac{13}{12} < k < \frac{31}{12}$.Единственное целое значение $k$ в интервале $(1.08..., 2.58...)$ это $k=2$.

Подставляем $k=2$:$w_2 = \cos\left(\frac{5\pi + 12\pi \cdot 2}{36}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi + 12\pi \cdot 2}{36}\right) = \cos\left(\frac{29\pi}{36}\right) + i\sin\left(\frac{29\pi}{36}\right)$.

Ответ: $\cos\left(\frac{29\pi}{36}\right) + i\sin\left(\frac{29\pi}{36}\right)$.

в) второй четверти; z = 8i

Представим $z = 8i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $|z| = |8i| = 8$.Аргумент: точка $(0, 8)$ лежит на положительной мнимой оси, $\varphi = \arg(z) = \frac{\pi}{2}$.Тригонометрическая форма: $z = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Корни шестой степени из $z$:$w_k = \sqrt[6]{8} \left( \cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{6}\right) \right)$.$\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.$w_k = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi k}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi k}{12}\right) \right)$.Аргумент корня $\theta_k = \frac{\pi + 4\pi k}{12}$.

Ищем корень во второй четверти: $\frac{\pi}{2} < \theta_k < \pi$.$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi + 4\pi k}{12} < \pi$.$\frac{1}{2} < \frac{1 + 4k}{12} < 1$.$6 < 1 + 4k < 12$.$5 < 4k < 11$.$\frac{5}{4} < k < \frac{11}{4}$.Единственное целое значение $k$ в интервале $(1.25, 2.75)$ это $k=2$.

Подставляем $k=2$:$w_2 = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi \cdot 2}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi \cdot 2}{12}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{9\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{12}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right)$.

Ответ: $\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right)$.

г) третьей четверти; z = -13,5(i + √3)

Представим $z = -13,5(\sqrt{3} + i) = -13,5\sqrt{3} - 13,5i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $|z| = \sqrt{(-13,5\sqrt{3})^2 + (-13,5)^2} = \sqrt{13,5^2 \cdot 3 + 13,5^2} = \sqrt{13,5^2 \cdot 4} = 13,5 \cdot 2 = 27$.Аргумент: $\cos\varphi = \frac{-13,5\sqrt{3}}{27} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \frac{-13,5}{27} = -\frac{1}{2}$. Точка находится в третьей четверти, $\varphi = \arg(z) = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.Тригонометрическая форма: $z = 27\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)$.

Корни шестой степени из $z$:$w_k = \sqrt[6]{27} \left( \cos\left(\frac{7\pi/6 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi/6 + 2\pi k}{6}\right) \right)$.$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.$w_k = \sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{7\pi + 12\pi k}{36}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi + 12\pi k}{36}\right) \right)$.Аргумент корня $\theta_k = \frac{7\pi + 12\pi k}{36}$.

Ищем корень в третьей четверти: $\pi < \theta_k < \frac{3\pi}{2}$.$\pi < \frac{7\pi + 12\pi k}{36} < \frac{3\pi}{2}$.$1 < \frac{7 + 12k}{36} < \frac{3}{2}$.$36 < 7 + 12k < 54$.$29 < 12k < 47$.$\frac{29}{12} < k < \frac{47}{12}$.Единственное целое значение $k$ в интервале $(2.41..., 3.91...)$ это $k=3$.

Подставляем $k=3$:$w_3 = \sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{7\pi + 12\pi \cdot 3}{36}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi + 12\pi \cdot 3}{36}\right) \right) = \sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{43\pi}{36}\right) + i\sin\left(\frac{43\pi}{36}\right) \right)$.

Ответ: $\sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{43\pi}{36}\right) + i\sin\left(\frac{43\pi}{36}\right) \right)$.

10.16. а) Запишите в тригонометрической форме и изобразите на комплексной плоскости все значения $\sqrt[5]{1}$.

б) Докажите тождество $z^5 - 1 = (z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1)$; подберите действительные числа $A < B$ так, чтобы выполнялось тождество $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = (z^2 + Az + 1) \times (z^2 + Bz + 1)$.

в) Используя результаты пунктов а) и б), вычислите $\cos 72^\circ$ и $\sin 72^\circ$.

г) Найдите сторону $a_5$ правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, и сторону $a_{10}$ правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность.

а) Чтобы найти все значения $\sqrt[5]{1}$, нужно решить уравнение $z^5=1$ на множестве комплексных чисел. Представим число 1 в тригонометрической форме: $1 = \cos(0) + i\sin(0)$. В общем виде для извлечения корня: $1 = \cos(2\pi k) + i\sin(2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
По формуле Муавра для корней n-ой степени из комплексного числа, $z_k = \sqrt[n]{|w|}(\cos(\frac{\theta+2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{\theta+2\pi k}{n}))$.
В нашем случае $|w|=1, \theta=0, n=5$. Тогда:
$z_k = \cos(\frac{2\pi k}{5}) + i\sin(\frac{2\pi k}{5})$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$.
Вычислим пять различных корней:
Для $k=0: z_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$
Для $k=1: z_1 = \cos(\frac{2\pi}{5}) + i\sin(\frac{2\pi}{5}) = \cos(72^\circ) + i\sin(72^\circ)$
Для $k=2: z_2 = \cos(\frac{4\pi}{5}) + i\sin(\frac{4\pi}{5}) = \cos(144^\circ) + i\sin(144^\circ)$
Для $k=3: z_3 = \cos(\frac{6\pi}{5}) + i\sin(\frac{6\pi}{5}) = \cos(216^\circ) + i\sin(216^\circ)$
Для $k=4: z_4 = \cos(\frac{8\pi}{5}) + i\sin(\frac{8\pi}{5}) = \cos(288^\circ) + i\sin(288^\circ)$
На комплексной плоскости эти точки являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат. Одна вершина находится в точке $(1, 0)$, а остальные расположены с шагом в $72^\circ$ против часовой стрелки.
Ответ: $z_k = \cos(\frac{2\pi k}{5}) + i\sin(\frac{2\pi k}{5})$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$.

б) Для доказательства первого тождества раскроем скобки в правой части выражения, используя формулу разности $(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)=a^5-b^5$ для $b=1$, или напрямую:
$(z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = z(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) - 1(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = (z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z) - (z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = z^5 - 1$.
Тождество доказано.
Для второго тождества раскроем правую часть:
$(z^2 + Az + 1)(z^2 + Bz + 1) = z^4 + Bz^3 + z^2 + Az^3 + ABz^2 + Az + z^2 + Bz + 1 = z^4 + (A+B)z^3 + (AB+2)z^2 + (A+B)z + 1$.
Сравнивая коэффициенты с многочленом $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1$, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} A+B = 1 \\ AB+2 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} A+B = 1 \\ AB = -1 \end{cases}$
Числа $A$ и $B$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (A+B)x + AB = 0$, то есть $x^2 - x - 1 = 0$.
Находим корни по формуле: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
По условию $A < B$, значит $A = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $B = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $A = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, B = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

в) Из пунктов а) и б) следует, что корни уравнения $z^5-1=0$ (кроме $z=1$) являются корнями уравнения $z^4+z^3+z^2+z+1 = (z^2+Az+1)(z^2+Bz+1)=0$.
Один из этих корней — $z_1 = \cos(72^\circ) + i\sin(72^\circ)$. Его действительная часть $\operatorname{Re}(z_1) = \cos(72^\circ) > 0$.
Рассмотрим корни квадратных трехчленов:
1) $z^2 + Az + 1 = 0$. Корни имеют действительную часть $\operatorname{Re}(z) = -\frac{A}{2} = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} > 0$.
2) $z^2 + Bz + 1 = 0$. Корни имеют действительную часть $\operatorname{Re}(z) = -\frac{B}{2} = -\frac{1 + \sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{-1-\sqrt{5}}{4} < 0$.
Так как действительная часть $z_1$ положительна, $z_1$ является корнем уравнения $z^2 + Az + 1 = 0$.
Следовательно, $\cos(72^\circ) = \operatorname{Re}(z_1) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Для угла $72^\circ$ синус положителен.
$\sin(72^\circ) = \sqrt{1 - \cos^2(72^\circ)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$.
Ответ: $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}, \sin 72^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$.

г) Длина стороны $a_n$ правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, связана с центральным углом $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ по теореме косинусов: $a_n^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(\alpha) = 2R^2(1-\cos(\frac{2\pi}{n}))$.
В нашем случае окружность единичная, $R=1$.
Для правильного пятиугольника ($n=5$):
$a_5^2 = 2(1 - \cos(\frac{2\pi}{5})) = 2(1 - \cos(72^\circ))$. Используя значение из пункта в):
$a_5^2 = 2\left(1 - \frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) = 2\left(\frac{4 - \sqrt{5} + 1}{4}\right) = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$.
$a_5 = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$.
Для правильного десятиугольника ($n=10$):
$a_{10}^2 = 2(1 - \cos(\frac{2\pi}{10})) = 2(1 - \cos(36^\circ))$.
Найдем $\cos(36^\circ)$ из $\cos(72^\circ)$ по формуле двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:
$\cos(72^\circ) = 2\cos^2(36^\circ) - 1 \implies 2\cos^2(36^\circ) = 1 + \cos(72^\circ) = 1 + \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{4}$.
$\cos^2(36^\circ) = \frac{3+\sqrt{5}}{8} \implies \cos(36^\circ) = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{4} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
Теперь находим $a_{10}$:
$a_{10}^2 = 2\left(1 - \frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) = 2\left(\frac{4 - \sqrt{5} - 1}{4}\right) = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
$a_{10} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Ответ: $a_5 = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$, $a_{10} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

10.17. Составьте (если возможно) многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа:

а) $z_1 = 1$, $z_2 = 2 - i$, $z_3 = 2 + i$;

б) $z_1 = 0$, $z_2 = 3 + 2i$, $z_3 = 3 - 2i$;

в) $z_1 = 1$, $z_2 = 2 - i$, $z_3 = 2 + 2i$;

г) $z_1 = i$, $z_2 = 2i$, $z_3 = 3i$.

Для того чтобы многочлен с действительными коэффициентами имел комплексный (не действительный) корень $z = a + bi$, он должен также иметь и сопряженный ему корень $\bar{z} = a - bi$. Это следует из теоремы о сопряженных корнях. Многочлен третьей степени имеет ровно три корня (с учетом кратности). Для того чтобы его коэффициенты были действительными, возможны два случая:

1. Все три корня — действительные числа.
2. Один корень — действительное число, а два других — пара комплексно-сопряженных чисел.

а) $z_1 = 1, z_2 = 2 - i, z_3 = 2 + i$

В данном наборе корней один корень $z_1 = 1$ является действительным, а два других, $z_2 = 2 - i$ и $z_3 = 2 + i$, являются комплексно-сопряженными, так как $\overline{2-i} = 2+i$. Эта ситуация соответствует второму случаю, следовательно, составить такой многочлен возможно.

Составим многочлен $P(x)$, чьими корнями являются $z_1, z_2, z_3$. Для простоты выберем старший коэффициент равным 1:

$P(x) = (x - z_1)(x - z_2)(x - z_3) = (x - 1)(x - (2 - i))(x - (2 + i))$

Сначала перемножим множители с комплексно-сопряженными корнями:

$(x - (2 - i))(x - (2 + i)) = ((x - 2) + i)((x - 2) - i) = (x - 2)^2 - i^2 = (x^2 - 4x + 4) - (-1) = x^2 - 4x + 5$.

Теперь умножим полученный квадратный трехчлен на множитель $(x - 1)$:

$P(x) = (x - 1)(x^2 - 4x + 5) = x(x^2 - 4x + 5) - 1(x^2 - 4x + 5) = x^3 - 4x^2 + 5x - x^2 + 4x - 5 = x^3 - 5x^2 + 9x - 5$.

Полученный многочлен имеет действительные коэффициенты.

Ответ: да, возможно. Например, $P(x) = x^3 - 5x^2 + 9x - 5$.

б) $z_1 = 0, z_2 = 3 + 2i, z_3 = 3 - 2i$

В этом наборе корень $z_1 = 0$ является действительным, а корни $z_2 = 3 + 2i$ и $z_3 = 3 - 2i$ являются комплексно-сопряженными, так как $\overline{3+2i} = 3-2i$. Эта ситуация также соответствует второму случаю, поэтому составить такой многочлен возможно.

$P(x) = (x - 0)(x - (3 + 2i))(x - (3 - 2i)) = x((x-3)-2i)((x-3)+2i)$

Перемножим множители с комплексными корнями:

$((x-3)-2i)((x-3)+2i) = (x-3)^2 - (2i)^2 = (x^2 - 6x + 9) - 4i^2 = x^2 - 6x + 9 - 4(-1) = x^2 - 6x + 13$.

Теперь умножим на множитель $x$:

$P(x) = x(x^2 - 6x + 13) = x^3 - 6x^2 + 13x$.

Полученный многочлен имеет действительные коэффициенты.

Ответ: да, возможно. Например, $P(x) = x^3 - 6x^2 + 13x$.

в) $z_1 = 1, z_2 = 2 - i, z_3 = 2 + 2i$

В наборе корней есть действительный корень $z_1 = 1$ и два комплексных корня $z_2 = 2 - i$ и $z_3 = 2 + 2i$. Проверим, являются ли они сопряженными.

Число, сопряженное к $z_2 = 2 - i$, это $\bar{z_2} = 2 + i$. Это число не равно $z_3 = 2 + 2i$ и не является одним из корней.

Число, сопряженное к $z_3 = 2 + 2i$, это $\bar{z_3} = 2 - 2i$. Это число не равно $z_2 = 2 - i$ и не является одним из корней.

Так как в наборе корней есть комплексные корни, для которых нет сопряженных им, составить многочлен третьей степени с действительными коэффициентами невозможно.

Ответ: невозможно.

г) $z_1 = i, z_2 = 2i, z_3 = 3i$

Все три корня являются комплексными (чисто мнимыми). Для того чтобы многочлен с действительными коэффициентами имел эти корни, ему должны соответствовать и сопряженные корни.

Сопряженным к $z_1 = i$ является $\bar{z_1} = -i$.

Сопряженным к $z_2 = 2i$ является $\bar{z_2} = -2i$.

Сопряженным к $z_3 = 3i$ является $\bar{z_3} = -3i$.

Ни один из сопряженных корней ($-i, -2i, -3i$) не присутствует в заданном наборе. Так как для каждого комплексного корня в наборе отсутствует его сопряженная пара, составить многочлен третьей степени с действительными коэффициентами невозможно. (Такой многочлен должен был бы иметь 6 корней: $\pm i, \pm 2i, \pm 3i$, и его степень была бы не менее 6).

Ответ: невозможно.

10.18. a) Составьте многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа $z_1 = -5, z_{2,3} = 4 \pm 3i$.

б) Найдите числа $z_1 + z_2 + z_3$, $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1$, $z_1z_2z_3$ и сравните их с коэффициентами многочлена из пункта а).

а) Пусть искомый многочлен $P(x)$. Если многочлен имеет корни $z_1, z_2, z_3$, то его можно представить в виде $P(x) = a(x - z_1)(x - z_2)(x - z_3)$, где $a$ — некоторый ненулевой действительный коэффициент. Для простоты положим $a=1$.

Корни многочлена: $z_1 = -5$, $z_2 = 4 + 3i$ и $z_3 = 4 - 3i$.

Так как многочлен должен иметь действительные коэффициенты, его комплексные корни должны быть сопряженными парами, что и наблюдается в условии ($4+3i$ и $4-3i$ являются комплексно-сопряженными).

Составим многочлен, перемножив сомножители, соответствующие корням: $P(x) = (x - z_1)(x - z_2)(x - z_3) = (x - (-5))(x - (4 + 3i))(x - (4 - 3i))$

Упростим выражение: $P(x) = (x + 5) \cdot ((x - 4) - 3i)((x - 4) + 3i)$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для произведения комплексных сомножителей: $((x - 4) - 3i)((x - 4) + 3i) = (x - 4)^2 - (3i)^2 = (x^2 - 8x + 16) - (9i^2)$

Так как $i^2 = -1$, получаем: $x^2 - 8x + 16 - 9(-1) = x^2 - 8x + 16 + 9 = x^2 - 8x + 25$

Теперь умножим полученный квадратный трехчлен на первый сомножитель $(x+5)$: $P(x) = (x + 5)(x^2 - 8x + 25) = x(x^2 - 8x + 25) + 5(x^2 - 8x + 25)$ $P(x) = x^3 - 8x^2 + 25x + 5x^2 - 40x + 125$

Приведем подобные слагаемые: $P(x) = x^3 + (-8+5)x^2 + (25-40)x + 125 = x^3 - 3x^2 - 15x + 125$

Ответ: $P(x) = x^3 - 3x^2 - 15x + 125$.

б) Найдем значения указанных выражений, используя данные корни $z_1 = -5$, $z_2 = 4 + 3i$, $z_3 = 4 - 3i$.

1. Сумма корней: $z_1 + z_2 + z_3 = -5 + (4 + 3i) + (4 - 3i) = -5 + 4 + 4 + 3i - 3i = 3$

2. Сумма попарных произведений корней: $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1$ $z_1z_2 = -5(4 + 3i) = -20 - 15i$ $z_2z_3 = (4 + 3i)(4 - 3i) = 4^2 - (3i)^2 = 16 - 9i^2 = 16 + 9 = 25$ $z_3z_1 = (4 - 3i)(-5) = -20 + 15i$ $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = (-20 - 15i) + 25 + (-20 + 15i) = -20 + 25 - 20 -15i + 15i = -15$

3. Произведение корней: $z_1z_2z_3 = z_1 \cdot (z_2z_3) = -5 \cdot 25 = -125$

Теперь сравним полученные числа с коэффициентами многочлена $P(x) = x^3 - 3x^2 - 15x + 125$ из пункта а). Для приведенного многочлена третьей степени $x^3+bx^2+cx+d=0$ с корнями $z_1, z_2, z_3$ по теореме Виета верны следующие соотношения: $z_1 + z_2 + z_3 = -b$ $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = c$ $z_1z_2z_3 = -d$

В нашем случае $b = -3, c = -15, d = 125$.

- Сравнение суммы корней: $z_1 + z_2 + z_3 = 3$. Коэффициент $b=-3$. Соотношение $-b = -(-3) = 3$ выполняется.

- Сравнение суммы попарных произведений: $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = -15$. Коэффициент $c=-15$. Соотношение $c = -15$ выполняется.

- Сравнение произведения корней: $z_1z_2z_3 = -125$. Свободный член $d=125$. Соотношение $-d = -125$ выполняется.

Ответ: $z_1 + z_2 + z_3 = 3$; $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = -15$; $z_1z_2z_3 = -125$. Эти значения соответствуют коэффициентам многочлена из пункта а) согласно теореме Виета: сумма корней равна коэффициенту при $x^2$ с противоположным знаком; сумма попарных произведений корней равна коэффициенту при $x$; произведение корней равно свободному члену с противоположным знаком.

10.19. a) Для многочлена $z^3 + az^2 + bz + c$ и его корней $z_1, z_2, z_3$ докажите, что выполняются следующие соотношения (теорема Виета): $z_1 + z_2 + z_3 = -a$, $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = b$, $z_1z_2z_3 = -c$.

б) Сформулируйте и докажите теорему Виета для приведённого многочлена четвёртой степени.

a)

Пусть дан многочлен третьей степени $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c$. Если $z_1, z_2, z_3$ являются его корнями, то по следствию из основной теоремы алгебры, многочлен можно представить в виде разложения на линейные множители:
$P(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)$

Раскроем скобки в этом выражении. Сначала перемножим первые две скобки:
$(z - z_1)(z - z_2) = z^2 - z_1z - z_2z + z_1z_2 = z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2$

Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(z - z_3)$:
$(z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2)(z - z_3) = z(z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2) - z_3(z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2)$
$= z^3 - (z_1 + z_2)z^2 + z_1z_2z - z_3z^2 + (z_1 + z_2)z_3z - z_1z_2z_3$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $z$:
$z^3 - (z_1 + z_2 + z_3)z^2 + (z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3)z - z_1z_2z_3$

Теперь мы имеем два тождественно равных представления одного и того же многочлена:
$z^3 + az^2 + bz + c \equiv z^3 - (z_1 + z_2 + z_3)z^2 + (z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1)z - z_1z_2z_3$
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем:

• при $z^2$: $a = -(z_1 + z_2 + z_3)$, откуда $z_1 + z_2 + z_3 = -a$.
• при $z$: $b = z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1$.
• свободный член: $c = -z_1z_2z_3$, откуда $z_1z_2z_3 = -c$.

Таким образом, все соотношения доказаны.

Ответ: Соотношения $z_1 + z_2 + z_3 = -a$, $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = b$, $z_1z_2z_3 = -c$ доказаны путем раскрытия скобок в разложении многочлена по корням $(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)$ и приравнивания полученных коэффициентов к коэффициентам исходного многочлена $z^3 + az^2 + bz + c$.

б)

Сформулируем теорему Виета для приведённого многочлена четвёртой степени.
Пусть дан приведённый многочлен четвёртой степени $P(z) = z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d$, и $z_1, z_2, z_3, z_4$ — его корни. Тогда справедливы следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = -a$.
• Сумма попарных произведений корней: $z_1z_2 + z_1z_3 + z_1z_4 + z_2z_3 + z_2z_4 + z_3z_4 = b$.
• Сумма произведений корней по три: $z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_1z_3z_4 + z_2z_3z_4 = -c$.
• Произведение всех корней: $z_1z_2z_3z_4 = d$.

Доказательство.
Поскольку $z_1, z_2, z_3, z_4$ являются корнями многочлена $P(z)$, его можно представить в виде произведения:
$P(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$.

Для раскрытия скобок воспользуемся результатом из пункта а) для произведения первых трёх множителей:
$(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) = z^3 - (z_1 + z_2 + z_3)z^2 + (z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3)z - z_1z_2z_3$.
Умножим это выражение на $(z - z_4)$:
$P(z) = (z^3 - (z_1 + z_2 + z_3)z^2 + (z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3)z - z_1z_2z_3)(z - z_4)$.
Раскрыв скобки и сгруппировав члены при одинаковых степенях $z$, получим:
$P(z) = z^4 - (z_1+z_2+z_3+z_4)z^3 + (z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4)z^2 - (z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4)z + z_1z_2z_3z_4$.

Приравнивая коэффициенты этого разложения к коэффициентам исходного многочлена $P(z) = z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d$, получаем:

• при $z^3$: $a = -(z_1 + z_2 + z_3 + z_4) \implies z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = -a$.
• при $z^2$: $b = z_1z_2 + z_1z_3 + z_1z_4 + z_2z_3 + z_2z_4 + z_3z_4$.
• при $z$: $c = -(z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_1z_3z_4 + z_2z_3z_4) \implies z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_1z_3z_4 + z_2z_3z_4 = -c$.
• свободный член: $d = z_1z_2z_3z_4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Виета для приведённого многочлена четвёртой степени $z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d$ с корнями $z_1, z_2, z_3, z_4$ утверждает, что $z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = -a$, $z_1z_2 + z_1z_3 + z_1z_4 + z_2z_3 + z_2z_4 + z_3z_4 = b$, $z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_1z_3z_4 + z_2z_3z_4 = -c$, $z_1z_2z_3z_4 = d$. Доказательство основано на сравнении коэффициентов при одинаковых степенях $z$ в исходном многочлене и его разложении на множители $(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$.