Номер 10.18, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.18, страница 59.

10.18. a) Составьте многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа $z_1 = -5, z_{2,3} = 4 \pm 3i$.

б) Найдите числа $z_1 + z_2 + z_3$, $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1$, $z_1z_2z_3$ и сравните их с коэффициентами многочлена из пункта а).

а) Пусть искомый многочлен $P(x)$. Если многочлен имеет корни $z_1, z_2, z_3$, то его можно представить в виде $P(x) = a(x - z_1)(x - z_2)(x - z_3)$, где $a$ — некоторый ненулевой действительный коэффициент. Для простоты положим $a=1$.

Корни многочлена: $z_1 = -5$, $z_2 = 4 + 3i$ и $z_3 = 4 - 3i$.

Так как многочлен должен иметь действительные коэффициенты, его комплексные корни должны быть сопряженными парами, что и наблюдается в условии ($4+3i$ и $4-3i$ являются комплексно-сопряженными).

Составим многочлен, перемножив сомножители, соответствующие корням: $P(x) = (x - z_1)(x - z_2)(x - z_3) = (x - (-5))(x - (4 + 3i))(x - (4 - 3i))$

Упростим выражение: $P(x) = (x + 5) \cdot ((x - 4) - 3i)((x - 4) + 3i)$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для произведения комплексных сомножителей: $((x - 4) - 3i)((x - 4) + 3i) = (x - 4)^2 - (3i)^2 = (x^2 - 8x + 16) - (9i^2)$

Так как $i^2 = -1$, получаем: $x^2 - 8x + 16 - 9(-1) = x^2 - 8x + 16 + 9 = x^2 - 8x + 25$

Теперь умножим полученный квадратный трехчлен на первый сомножитель $(x+5)$: $P(x) = (x + 5)(x^2 - 8x + 25) = x(x^2 - 8x + 25) + 5(x^2 - 8x + 25)$ $P(x) = x^3 - 8x^2 + 25x + 5x^2 - 40x + 125$

Приведем подобные слагаемые: $P(x) = x^3 + (-8+5)x^2 + (25-40)x + 125 = x^3 - 3x^2 - 15x + 125$

Ответ: $P(x) = x^3 - 3x^2 - 15x + 125$.

б) Найдем значения указанных выражений, используя данные корни $z_1 = -5$, $z_2 = 4 + 3i$, $z_3 = 4 - 3i$.

1. Сумма корней: $z_1 + z_2 + z_3 = -5 + (4 + 3i) + (4 - 3i) = -5 + 4 + 4 + 3i - 3i = 3$

2. Сумма попарных произведений корней: $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1$ $z_1z_2 = -5(4 + 3i) = -20 - 15i$ $z_2z_3 = (4 + 3i)(4 - 3i) = 4^2 - (3i)^2 = 16 - 9i^2 = 16 + 9 = 25$ $z_3z_1 = (4 - 3i)(-5) = -20 + 15i$ $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = (-20 - 15i) + 25 + (-20 + 15i) = -20 + 25 - 20 -15i + 15i = -15$

3. Произведение корней: $z_1z_2z_3 = z_1 \cdot (z_2z_3) = -5 \cdot 25 = -125$

Теперь сравним полученные числа с коэффициентами многочлена $P(x) = x^3 - 3x^2 - 15x + 125$ из пункта а). Для приведенного многочлена третьей степени $x^3+bx^2+cx+d=0$ с корнями $z_1, z_2, z_3$ по теореме Виета верны следующие соотношения: $z_1 + z_2 + z_3 = -b$ $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = c$ $z_1z_2z_3 = -d$

В нашем случае $b = -3, c = -15, d = 125$.

- Сравнение суммы корней: $z_1 + z_2 + z_3 = 3$. Коэффициент $b=-3$. Соотношение $-b = -(-3) = 3$ выполняется.

- Сравнение суммы попарных произведений: $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = -15$. Коэффициент $c=-15$. Соотношение $c = -15$ выполняется.

- Сравнение произведения корней: $z_1z_2z_3 = -125$. Свободный член $d=125$. Соотношение $-d = -125$ выполняется.

Ответ: $z_1 + z_2 + z_3 = 3$; $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = -15$; $z_1z_2z_3 = -125$. Эти значения соответствуют коэффициентам многочлена из пункта а) согласно теореме Виета: сумма корней равна коэффициенту при $x^2$ с противоположным знаком; сумма попарных произведений корней равна коэффициенту при $x$; произведение корней равно свободному члену с противоположным знаком.