Номер 10.16, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.16, страница 59.

10.16. а) Запишите в тригонометрической форме и изобразите на комплексной плоскости все значения $\sqrt[5]{1}$.

б) Докажите тождество $z^5 - 1 = (z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1)$; подберите действительные числа $A < B$ так, чтобы выполнялось тождество $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = (z^2 + Az + 1) \times (z^2 + Bz + 1)$.

в) Используя результаты пунктов а) и б), вычислите $\cos 72^\circ$ и $\sin 72^\circ$.

г) Найдите сторону $a_5$ правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, и сторону $a_{10}$ правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность.

а) Чтобы найти все значения $\sqrt[5]{1}$, нужно решить уравнение $z^5=1$ на множестве комплексных чисел. Представим число 1 в тригонометрической форме: $1 = \cos(0) + i\sin(0)$. В общем виде для извлечения корня: $1 = \cos(2\pi k) + i\sin(2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
По формуле Муавра для корней n-ой степени из комплексного числа, $z_k = \sqrt[n]{|w|}(\cos(\frac{\theta+2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{\theta+2\pi k}{n}))$.
В нашем случае $|w|=1, \theta=0, n=5$. Тогда:
$z_k = \cos(\frac{2\pi k}{5}) + i\sin(\frac{2\pi k}{5})$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$.
Вычислим пять различных корней:
Для $k=0: z_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$
Для $k=1: z_1 = \cos(\frac{2\pi}{5}) + i\sin(\frac{2\pi}{5}) = \cos(72^\circ) + i\sin(72^\circ)$
Для $k=2: z_2 = \cos(\frac{4\pi}{5}) + i\sin(\frac{4\pi}{5}) = \cos(144^\circ) + i\sin(144^\circ)$
Для $k=3: z_3 = \cos(\frac{6\pi}{5}) + i\sin(\frac{6\pi}{5}) = \cos(216^\circ) + i\sin(216^\circ)$
Для $k=4: z_4 = \cos(\frac{8\pi}{5}) + i\sin(\frac{8\pi}{5}) = \cos(288^\circ) + i\sin(288^\circ)$
На комплексной плоскости эти точки являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат. Одна вершина находится в точке $(1, 0)$, а остальные расположены с шагом в $72^\circ$ против часовой стрелки.
Ответ: $z_k = \cos(\frac{2\pi k}{5}) + i\sin(\frac{2\pi k}{5})$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$.

б) Для доказательства первого тождества раскроем скобки в правой части выражения, используя формулу разности $(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)=a^5-b^5$ для $b=1$, или напрямую:
$(z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = z(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) - 1(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = (z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z) - (z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = z^5 - 1$.
Тождество доказано.
Для второго тождества раскроем правую часть:
$(z^2 + Az + 1)(z^2 + Bz + 1) = z^4 + Bz^3 + z^2 + Az^3 + ABz^2 + Az + z^2 + Bz + 1 = z^4 + (A+B)z^3 + (AB+2)z^2 + (A+B)z + 1$.
Сравнивая коэффициенты с многочленом $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1$, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} A+B = 1 \\ AB+2 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} A+B = 1 \\ AB = -1 \end{cases}$
Числа $A$ и $B$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (A+B)x + AB = 0$, то есть $x^2 - x - 1 = 0$.
Находим корни по формуле: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
По условию $A < B$, значит $A = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $B = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $A = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, B = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

в) Из пунктов а) и б) следует, что корни уравнения $z^5-1=0$ (кроме $z=1$) являются корнями уравнения $z^4+z^3+z^2+z+1 = (z^2+Az+1)(z^2+Bz+1)=0$.
Один из этих корней — $z_1 = \cos(72^\circ) + i\sin(72^\circ)$. Его действительная часть $\operatorname{Re}(z_1) = \cos(72^\circ) > 0$.
Рассмотрим корни квадратных трехчленов:
1) $z^2 + Az + 1 = 0$. Корни имеют действительную часть $\operatorname{Re}(z) = -\frac{A}{2} = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} > 0$.
2) $z^2 + Bz + 1 = 0$. Корни имеют действительную часть $\operatorname{Re}(z) = -\frac{B}{2} = -\frac{1 + \sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{-1-\sqrt{5}}{4} < 0$.
Так как действительная часть $z_1$ положительна, $z_1$ является корнем уравнения $z^2 + Az + 1 = 0$.
Следовательно, $\cos(72^\circ) = \operatorname{Re}(z_1) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Для угла $72^\circ$ синус положителен.
$\sin(72^\circ) = \sqrt{1 - \cos^2(72^\circ)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$.
Ответ: $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}, \sin 72^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$.

г) Длина стороны $a_n$ правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, связана с центральным углом $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ по теореме косинусов: $a_n^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(\alpha) = 2R^2(1-\cos(\frac{2\pi}{n}))$.
В нашем случае окружность единичная, $R=1$.
Для правильного пятиугольника ($n=5$):
$a_5^2 = 2(1 - \cos(\frac{2\pi}{5})) = 2(1 - \cos(72^\circ))$. Используя значение из пункта в):
$a_5^2 = 2\left(1 - \frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) = 2\left(\frac{4 - \sqrt{5} + 1}{4}\right) = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$.
$a_5 = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$.
Для правильного десятиугольника ($n=10$):
$a_{10}^2 = 2(1 - \cos(\frac{2\pi}{10})) = 2(1 - \cos(36^\circ))$.
Найдем $\cos(36^\circ)$ из $\cos(72^\circ)$ по формуле двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:
$\cos(72^\circ) = 2\cos^2(36^\circ) - 1 \implies 2\cos^2(36^\circ) = 1 + \cos(72^\circ) = 1 + \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{4}$.
$\cos^2(36^\circ) = \frac{3+\sqrt{5}}{8} \implies \cos(36^\circ) = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{4} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
Теперь находим $a_{10}$:
$a_{10}^2 = 2\left(1 - \frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) = 2\left(\frac{4 - \sqrt{5} - 1}{4}\right) = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
$a_{10} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Ответ: $a_5 = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$, $a_{10} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.