Номер 10.12, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.12, страница 58.

10.12. а) $\sqrt[3]{8}$;

б) $\sqrt[3]{-27}$;

В) $\sqrt[3]{i}$;

Г) $\sqrt[3]{-64i}$.

а) $\sqrt[3]{8}$

Чтобы найти все значения корня третьей степени из числа 8, мы ищем все комплексные числа $z$, такие что $z^3 = 8$. Для этого представим число 8 в тригонометрической форме. Модуль числа $r = |8| = 8$. Аргумент $\varphi = \arg(8) = 0$. Таким образом, $8 = 8(\cos(0) + i\sin(0))$.

Формула для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ имеет вид (формула Муавра): $z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=3$, $r=8$, $\varphi=0$. Подставляем эти значения в формулу: $z_k = \sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{0 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{2\pi k}{3} + i\sin\frac{2\pi k}{3}\right)$, для $k=0, 1, 2$.

Вычислим значения для каждого $k$:
При $k=0$: $z_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2(1 + 0) = 2$.
При $k=1$: $z_1 = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3}$.
При $k=2$: $z_2 = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 - i\sqrt{3}$.

Ответ: $2$; $-1 + i\sqrt{3}$; $-1 - i\sqrt{3}$.

б) $\sqrt[3]{-27}$

Ищем все комплексные числа $z$, такие что $z^3 = -27$. Представим число -27 в тригонометрической форме. Модуль числа $r = |-27| = 27$. Аргумент $\varphi = \arg(-27) = \pi$. Таким образом, $-27 = 27(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.

Используем формулу для корней n-ой степени с $n=3$, $r=27$, $\varphi=\pi$: $z_k = \sqrt[3]{27}\left(\cos\frac{\pi + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) = 3\left(\cos\frac{\pi(1+2k)}{3} + i\sin\frac{\pi(1+2k)}{3}\right)$, для $k=0, 1, 2$.

Вычислим значения для каждого $k$:
При $k=0$: $z_0 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = 3\left(\cos\frac{3\pi}{3} + i\sin\frac{3\pi}{3}\right) = 3(\cos\pi + i\sin\pi) = 3(-1 + 0) = -3$.
При $k=2$: $z_2 = 3\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-3$; $\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$; $\frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

в) $\sqrt[3]{i}$

Ищем все комплексные числа $z$, такие что $z^3 = i$. Представим мнимую единицу $i$ в тригонометрической форме. Модуль числа $r = |i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$. Аргумент $\varphi = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $i = 1\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.

Используем формулу для корней n-ой степени с $n=3$, $r=1$, $\varphi=\frac{\pi}{2}$: $z_k = \sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right)$, для $k=0, 1, 2$.

Вычислим значения для каждого $k$:
При $k=0$: $z_0 = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
При $k=2$: $z_2 = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos\frac{9\pi}{6} + i\sin\frac{9\pi}{6} = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = 0 - i = -i$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$; $-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$; $-i$.

г) $\sqrt[3]{-64i}$

Ищем все комплексные числа $z$, такие что $z^3 = -64i$. Представим число $-64i$ в тригонометрической форме. Модуль числа $r = |-64i| = \sqrt{0^2 + (-64)^2} = 64$. Аргумент $\varphi = \arg(-64i) = \frac{3\pi}{2}$. Таким образом, $-64i = 64\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$.

Используем формулу для корней n-ой степени с $n=3$, $r=64$, $\varphi=\frac{3\pi}{2}$: $z_k = \sqrt[3]{64}\left(\cos\frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right)$, для $k=0, 1, 2$.

Вычислим значения для каждого $k$:
При $k=0$: $z_0 = 4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 4(0 + i\cdot 1) = 4i$.
При $k=1$: $z_1 = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right) = 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -2\sqrt{3} - 2i$.
При $k=2$: $z_2 = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3}\right)\right) = 4\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{3} - 2i$.

Ответ: $4i$; $-2\sqrt{3} - 2i$; $2\sqrt{3} - 2i$.