Номер 10.13, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.13, страница 58.

10.13. a) $\sqrt[4]{1}$;

б) $\sqrt[4]{-1}$.

а)

Требуется найти все значения корня четвертой степени из единицы в поле комплексных чисел, то есть найти все решения уравнения $z^4 = 1$.
Представим число $1$ в тригонометрической форме.
Модуль числа $r = |1| = 1$.
Аргумент числа $\phi = \arg(1) = 0$.
Таким образом, $1 = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.
Общая формула для корней n-ой степени из комплексного числа $w = r(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$ имеет вид:
$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
В нашем случае $n=4$, $r=1$, $\phi=0$. Подставляем эти значения в формулу:
$z_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{2}\right)$.
Найдем все четыре корня, подставляя значения $k$ от 0 до 3.
При $k=0$: $z_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.
При $k=1$: $z_1 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = i$.
При $k=2$: $z_2 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.
При $k=3$: $z_3 = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -i$.
Таким образом, корнями четвертой степени из 1 являются числа $1, -1, i, -i$.

Ответ: $1, -1, i, -i$.

б)

Требуется найти все значения корня четвертой степени из минус единицы, то есть найти все решения уравнения $z^4 = -1$.
Представим число $-1$ в тригонометрической форме.
Модуль числа $r = |-1| = 1$.
Аргумент числа $\phi = \arg(-1) = \pi$.
Таким образом, $-1 = 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.
Используем общую формулу для корней n-ой степени:
$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
В нашем случае $n=4$, $r=1$, $\phi=\pi$. Подставляем эти значения в формулу:
$z_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{4}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi(1+2k)}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi(1+2k)}{4}\right)$.
Найдем все четыре корня, подставляя значения $k$ от 0 до 3.
При $k=0$: $z_0 = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=2$: $z_2 = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=3$: $z_3 = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корнями четвертой степени из -1 являются четыре комплексных числа.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.