Номер 10.7, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.7, страница 58.

10.7. Пусть $z = \cos 8^\circ + i \sin 8^\circ$. Найдите наименьшее натуральное значение $n$, для которого:

а) $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти комплексной плоскости;

б) $(\bar{z})^n$ принадлежит третьей координатной четверти;

в) $z^n$ принадлежит четвёртой координатной четверти;

г) $(\bar{z})^n$ принадлежит первой координатной четверти.

Комплексное число $z$ задано в тригонометрической форме: $z = \cos 8^\circ + i \sin 8^\circ$. Его модуль $|z|=1$, а аргумент $\arg(z) = 8^\circ$. Для возведения комплексного числа в натуральную степень $n$ применяется формула Муавра: $z^n = (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$. Таким образом, $z^n = \cos(n \cdot 8^\circ) + i \sin(n \cdot 8^\circ)$, и аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = n \cdot 8^\circ$.

Комплексно-сопряженное число к $z$ есть $\bar{z} = \cos 8^\circ - i \sin 8^\circ = \cos(-8^\circ) + i \sin(-8^\circ)$. Его аргумент $\arg(\bar{z}) = -8^\circ$. Тогда $(\bar{z})^n = \cos(-n \cdot 8^\circ) + i \sin(-n \cdot 8^\circ)$, и аргумент числа $(\bar{z})^n$ равен $\arg((\bar{z})^n) = -n \cdot 8^\circ$.

Расположение числа на комплексной плоскости определяется его аргументом $\alpha$. Для координатных четвертей действуют следующие условия (где $k$ — целое число):

• I четверть: $360^\circ \cdot k < \alpha < 90^\circ + 360^\circ \cdot k$

• II четверть: $90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 180^\circ + 360^\circ \cdot k$

• III четверть: $180^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 270^\circ + 360^\circ \cdot k$

• IV четверть: $270^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 360^\circ + 360^\circ \cdot k$

а) $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти комплексной плоскости;

Для того чтобы число $z^n$ принадлежало третьей координатной четверти, его аргумент $\arg(z^n) = 8n^\circ$ должен находиться в интервале $(180^\circ, 270^\circ)$. Мы ищем наименьшее натуральное $n$, поэтому рассмотрим случай $k=0$ в общей формуле для III четверти.

Получаем двойное неравенство: $180^\circ < 8n^\circ < 270^\circ$.

Разделим все части неравенства на 8: $\frac{180}{8} < n < \frac{270}{8}$, что равносильно $22.5 < n < 33.75$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 23. Проверка: при $n=23$ аргумент равен $8^\circ \cdot 23 = 184^\circ$, что действительно находится в интервале $(180^\circ, 270^\circ)$.

Ответ: 23

б) $(\bar{z})^n$ принадлежит третьей координатной четверти;

Аргумент числа $(\bar{z})^n$ равен $\arg((\bar{z})^n) = -8n^\circ$. Для принадлежности третьей четверти этот угол должен удовлетворять условию: $180^\circ + 360^\circ k < -8n^\circ < 270^\circ + 360^\circ k$.

Так как $n>0$, то $-8n^\circ$ — отрицательный угол. Чтобы найти наименьшее натуральное $n$, выберем $k=-1$, чтобы получить отрицательные границы интервала, близкие к нулю: $180^\circ - 360^\circ < -8n^\circ < 270^\circ - 360^\circ$, то есть $-180^\circ < -8n^\circ < -90^\circ$.

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $90^\circ < 8n^\circ < 180^\circ$.

Разделим на 8: $\frac{90}{8} < n < \frac{180}{8}$, что равносильно $11.25 < n < 22.5$.

Наименьшее натуральное число $n$ из этого интервала равно 12. Проверка: при $n=12$ аргумент равен $-8^\circ \cdot 12 = -96^\circ$. Этот угол соответствует углу $-96^\circ + 360^\circ = 264^\circ$, который лежит в третьей четверти.

Ответ: 12

в) $z^n$ принадлежит четвёртой координатной четверти;

Аргумент $z^n$ должен быть в интервале $(270^\circ, 360^\circ)$ (при $k=0$). $270^\circ < 8n^\circ < 360^\circ$.

Разделим на 8: $\frac{270}{8} < n < \frac{360}{8}$, что равносильно $33.75 < n < 45$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 34. Проверка: при $n=34$ аргумент равен $8^\circ \cdot 34 = 272^\circ$, что находится в интервале $(270^\circ, 360^\circ)$.

Ответ: 34

г) $(\bar{z})^n$ принадлежит первой координатной четверти.

Аргумент $(\bar{z})^n$ равен $-8n^\circ$. Для принадлежности первой четверти он должен быть в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ с учетом полных оборотов, то есть $360^\circ k < -8n^\circ < 90^\circ + 360^\circ k$.

Выберем $k=-1$, чтобы получить отрицательные углы: $-360^\circ < -8n^\circ < 90^\circ - 360^\circ$, то есть $-360^\circ < -8n^\circ < -270^\circ$.

Умножим на -1 и сменим знаки неравенства: $270^\circ < 8n^\circ < 360^\circ$.

Разделим на 8: $\frac{270}{8} < n < \frac{360}{8}$, что равносильно $33.75 < n < 45$.

Наименьшее натуральное число $n$ из этого диапазона равно 34. Проверка: при $n=34$ аргумент равен $-8^\circ \cdot 34 = -272^\circ$. Этот угол соответствует углу $-272^\circ + 360^\circ = 88^\circ$, который лежит в первой четверти.

Ответ: 34