Номер 10.3, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.3, страница 57.

О10.3. Найдите наименьшее натуральное значение $n$, при котором:

а) число $(4 + 3i)^n$ лежит вне круга радиуса 100 с центром в начале координат;

б) число $(1 - 2i)^n$ лежит вне круга радиуса 1000 с центром в начале координат;

в) число $(i - 2)^n$ лежит вне круга радиуса $10n$ с центром в начале координат;

г) число $(1 + 3i)^n$ лежит вне круга радиуса $5n^2$ с центром в начале координат.

а) Условие того, что комплексное число $z$ лежит вне круга радиуса $R$ с центром в начале координат, записывается как $|z| > R$. В данном случае $z = (4 + 3i)^n$ и $R = 100$.

Используя свойство модуля $|z_0^n| = |z_0|^n$, получаем неравенство: $|(4 + 3i)^n| > 100$.

Найдем модуль комплексного числа $4 + 3i$:

$|4 + 3i| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Тогда неравенство принимает вид:

$5^n > 100$.

Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Проверим значения $n$ по порядку:

• При $n = 1$: $5^1 = 5$, что меньше 100.
• При $n = 2$: $5^2 = 25$, что меньше 100.
• При $n = 3$: $5^3 = 125$, что больше 100.

Таким образом, наименьшее натуральное значение $n$ равно 3.

Ответ: 3.

б) В данном случае $z = (1 - 2i)^n$ и $R = 1000$. Неравенство имеет вид $|(1 - 2i)^n| > 1000$.

Найдем модуль комплексного числа $1 - 2i$:

$|1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Неравенство принимает вид:

$(\sqrt{5})^n > 1000$.

Проверим значения $n$ по порядку. Удобнее сравнивать квадраты обеих частей: $5^n > 1000^2 = 10^6$.

• $5^8 = (5^4)^2 = 625^2 = 390625 < 10^6$. Значит $(\sqrt{5})^8 = 625 < 1000$.
• $5^9 = 5^8 \cdot 5 = 1953125 > 10^6$. Значит $(\sqrt{5})^9 > 1000$. Для проверки: $(\sqrt{5})^9 = (\sqrt{5})^8 \cdot \sqrt{5} = 625\sqrt{5}$. Так как $2.23^2 = 4.9729 < 5$, то $\sqrt{5} > 2.23$. Тогда $625\sqrt{5} > 625 \cdot 1.6 = 1000$. Неравенство $(\sqrt{5})^9 > 1000$ выполняется.

Наименьшее натуральное значение $n$ равно 9.

Ответ: 9.

в) Здесь $z = (i - 2)^n$ и $R = 10n$. Неравенство имеет вид $|(i - 2)^n| > 10n$.

Найдем модуль комплексного числа $i - 2 = -2 + i$:

$|i - 2| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Неравенство принимает вид:

$(\sqrt{5})^n > 10n$.

Найдем наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому неравенству, путем подстановки:

• При $n = 1$: $(\sqrt{5})^1 \approx 2.24$, $10 \cdot 1 = 10$. Неравенство $2.24 > 10$ ложно.
• При $n = 2$: $(\sqrt{5})^2 = 5$, $10 \cdot 2 = 20$. Неравенство $5 > 20$ ложно.
• При $n = 3$: $(\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5} \approx 11.18$, $10 \cdot 3 = 30$. Неравенство $11.18 > 30$ ложно.
• При $n = 4$: $(\sqrt{5})^4 = 25$, $10 \cdot 4 = 40$. Неравенство $25 > 40$ ложно.
• При $n = 5$: $(\sqrt{5})^5 = 25\sqrt{5}$. Сравним $25\sqrt{5}$ и $10 \cdot 5 = 50$. Разделим на 25: $\sqrt{5}$ и 2. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Неравенство истинно.

Наименьшее натуральное значение $n$ равно 5.

Ответ: 5.

г) Здесь $z = (1 + 3i)^n$ и $R = 5n^2$. Неравенство имеет вид $|(1 + 3i)^n| > 5n^2$.

Найдем модуль комплексного числа $1 + 3i$:

$|1 + 3i| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Неравенство принимает вид:

$(\sqrt{10})^n > 5n^2$.

Найдем наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому неравенству, путем подстановки:

• При $n = 1$: $(\sqrt{10})^1 = \sqrt{10} \approx 3.16$, $5 \cdot 1^2 = 5$. Неравенство $3.16 > 5$ ложно.
• При $n = 2$: $(\sqrt{10})^2 = 10$, $5 \cdot 2^2 = 20$. Неравенство $10 > 20$ ложно.
• При $n = 3$: $(\sqrt{10})^3 = 10\sqrt{10}$. Сравним $10\sqrt{10}$ и $5 \cdot 3^2 = 45$. Разделим на 5: $2\sqrt{10}$ и 9. Возведем в квадрат: $(2\sqrt{10})^2 = 40$, $9^2 = 81$. Так как $40 < 81$, неравенство $10\sqrt{10} > 45$ ложно.
• При $n = 4$: $(\sqrt{10})^4 = 100$, $5 \cdot 4^2 = 5 \cdot 16 = 80$. Неравенство $100 > 80$ истинно.

Наименьшее натуральное значение $n$ равно 4.

Ответ: 4.