Номер 9.46, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.46, страница 56.

9.46. Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:

a) $2x^5 + x^3 + 5x - 80 = \sqrt[3]{14 - 3x}$;

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$.

а) $2x^5 + x^3 + 5x - 80 = \sqrt[3]{14 - 3x}$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$f(x) = 2x^5 + x^3 + 5x - 80$

$g(x) = \sqrt[3]{14 - 3x}$

Обе функции определены для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Исследуем на монотонность функцию $f(x)$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^5 + x^3 + 5x - 80)' = 10x^4 + 3x^2 + 5$

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $10x^4 \ge 0$ и $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $f'(x) = 10x^4 + 3x^2 + 5 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку производная функции $f(x)$ положительна на всей области определения, функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Теперь исследуем на монотонность функцию $g(x)$. Можно заметить, что она является композицией двух функций: возрастающей $y = \sqrt[3]{u}$ и убывающей $u = 14 - 3x$, следовательно, функция $g(x)$ является убывающей. Также можно найти ее производную:

$g'(x) = (\sqrt[3]{14 - 3x})' = ((14 - 3x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(14-3x)^{-2/3} \cdot (-3) = -\frac{1}{\sqrt[3]{(14-3x)^2}}$

Производная $g'(x)$ отрицательна для всех $x$, при которых она определена (т.е. при $x \ne 14/3$). Это означает, что функция $g(x)$ является строго убывающей на всей области определения.

Таким образом, исходное уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго возрастающая функция, а $g(x)$ — строго убывающая. Такое уравнение может иметь не более одного корня. Если мы найдем один корень, он будет единственным.

Попробуем подобрать корень методом подстановки. Проверим $x=2$.

Левая часть: $f(2) = 2 \cdot 2^5 + 2^3 + 5 \cdot 2 - 80 = 2 \cdot 32 + 8 + 10 - 80 = 64 + 18 - 80 = 2$.

Правая часть: $g(2) = \sqrt[3]{14 - 3 \cdot 2} = \sqrt[3]{14 - 6} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Поскольку $f(2) = g(2)$, то $x=2$ является корнем уравнения. Так как уравнение не может иметь более одного корня, $x=2$ — это единственное решение.

Ответ: 2.

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$

Найдем область определения уравнения. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$10 + 3x \ge 0 \implies 3x \ge -10 \implies x \ge -10/3$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \in [-10/3; +\infty)$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения, на этой области:

$f(x) = \sqrt[4]{10 + 3x}$

$g(x) = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$

Исследуем на монотонность функцию $f(x)$ на ее ОДЗ. Найдем производную:

$f'(x) = (\sqrt[4]{10 + 3x})' = ((10 + 3x)^{1/4})' = \frac{1}{4}(10 + 3x)^{-3/4} \cdot 3 = \frac{3}{4\sqrt[4]{(10+3x)^3}}$

На интервале $(-10/3; +\infty)$ производная $f'(x)$ положительна, так как числитель и знаменатель положительны. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения.

Исследуем на монотонность функцию $g(x)$. Найдем ее производную:

$g'(x) = (74 - x^5 - 3x^3 - 8x)' = -5x^4 - 9x^2 - 8 = -(5x^4 + 9x^2 + 8)$

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, выражение в скобках $5x^4 + 9x^2 + 8$ всегда положительно. Значит, $g'(x) < 0$ для всех действительных $x$, в том числе и на ОДЗ. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей.

Исходное уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где на ОДЗ функция $f(x)$ строго возрастает, а функция $g(x)$ строго убывает. Это означает, что уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень подбором. Проверим значение $x=2$.

$x=2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 > -10/3$.

Левая часть: $f(2) = \sqrt[4]{10 + 3 \cdot 2} = \sqrt[4]{10 + 6} = \sqrt[4]{16} = 2$.

Правая часть: $g(2) = 74 - 2^5 - 3 \cdot 2^3 - 8 \cdot 2 = 74 - 32 - 3 \cdot 8 - 16 = 74 - 32 - 24 - 16 = 74 - 72 = 2$.

Так как $f(2) = g(2)$, то $x=2$ является корнем уравнения. В силу монотонности функций это единственный корень.

Ответ: 2.