Номер 9.47, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.47, страница 56.

9.47. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

a) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$, $[1; 9];$

б) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, $(0; 8);$

в) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$, $(1; 9);$

г) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, $[0; 8].$

а)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$ на отрезке $[1; 9]$, воспользуемся алгоритмом нахождения экстремумов непрерывной функции на замкнутом интервале.

1. Перепишем функцию в виде со степенным показателем: $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$.

2. Найдем производную функции:
$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная определена на всем промежутке $[1; 9]$.
$y' = 0 \implies \sqrt{x} - 2 = 0 \implies \sqrt{x} = 2$.
Отсюда $x = 4$. Эта точка принадлежит отрезку $[1; 9]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=4$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=9$:
$y(1) = \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - 2(1) = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}$.
$y(4) = \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - 2(4) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - 8 = \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 = \frac{16}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{8}{3}$.
$y(9) = \frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} - 2(9) = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 - 18 = \frac{2}{3} \cdot 27 - 18 = 18 - 18 = 0$.

5. Сравним полученные значения: $-\frac{4}{3} \approx -1.33$, $-\frac{8}{3} \approx -2.67$ и $0$. Наименьшее значение равно $-\frac{8}{3}$, а наибольшее равно $0$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -\frac{8}{3}$, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

б)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$ на интервале $(0; 8)$, найдем критические точки функции и исследуем ее поведение на границах интервала.

1. Найдем производную функции:
$y' = \left(\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x\right)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 1 = x^{-\frac{1}{3}} - 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

2. Найдем критические точки.
Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \implies \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 1$, откуда $x=1$. Эта точка принадлежит интервалу $(0; 8)$.
Производная не определена при $x=0$, но эта точка не входит в заданный интервал.

3. Вычислим значение функции в критической точке $x=1$:
$y(1) = \frac{3}{2}(1)^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

4. Исследуем поведение функции на границах интервала, найдя пределы:
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x\right) = \frac{3}{2}(0) - 0 = 0$.
$\lim_{x \to 8^-} y(x) = \lim_{x \to 8^-} \left(\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x\right) = \frac{3}{2}(8)^{\frac{2}{3}} - 8 = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - 8 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 8 = 6-8 = -2$.

5. На интервале $(0;1)$ производная $y' > 0$ (функция возрастает), на интервале $(1;8)$ производная $y' < 0$ (функция убывает). Следовательно, в точке $x=1$ достигается максимум. Наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$. Функция стремится к $-2$ при $x \to 8$, но никогда не достигает этого значения, так как точка $x=8$ не включена в интервал. Таким образом, наименьшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{max} = \frac{1}{2}$, наименьшее значение на данном интервале не существует.

в)

Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$ на интервале $(1; 9)$. Эта та же функция, что и в пункте а).

1. Функция и ее производная: $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$, $y' = \sqrt{x} - 2$.

2. Критическая точка $x=4$ принадлежит интервалу $(1; 9)$.

3. Значение функции в критической точке: $y(4) = -\frac{8}{3}$.

4. Исследуем поведение функции на границах интервала:
$\lim_{x \to 1^+} y(x) = \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - 2(1) = -\frac{4}{3}$.
$\lim_{x \to 9^-} y(x) = \frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} - 2(9) = 0$.

5. На интервале $(1;4)$ производная $y' < 0$ (функция убывает), на интервале $(4;9)$ производная $y' > 0$ (функция возрастает). Следовательно, в точке $x=4$ достигается минимум. Наименьшее значение равно $-\frac{8}{3}$. Функция стремится к $0$ при $x \to 9$, но не достигает этого значения. Таким образом, наибольшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -\frac{8}{3}$, наибольшее значение на данном интервале не существует.

г)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$ на отрезке $[0; 8]$ (та же функция, что и в пункте б), применим стандартный алгоритм.

1. Производная функции: $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

2. Критические точки: $x=1$ (где $y'=0$) и $x=0$ (где $y'$ не определена). Обе точки принадлежат отрезку $[0; 8]$.

3. Вычислим значения функции в критических точках $x=0, x=1$ и на правом конце отрезка $x=8$:
$y(0) = \frac{3}{2}(0)^{\frac{2}{3}} - 0 = 0$.
$y(1) = \frac{3}{2}(1)^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
$y(8) = \frac{3}{2}(8)^{\frac{2}{3}} - 8 = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - 8 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 8 = 6 - 8 = -2$.

4. Сравним полученные значения: $0$, $\frac{1}{2}$ и $-2$. Наименьшее значение равно $-2$, а наибольшее равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшее значение $y_{max} = \frac{1}{2}$.