Номер 10.1, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.1, страница 56.

10.1. Вычислите:

а) $\frac{3 + 7i}{3 - i}$;

б) $\frac{-i(3 + i)}{7 - i}$;

в) $\frac{(2 + 3i)(4 - i)}{i(1 - 7i)}$;

г) $\frac{i^5 + i^4 + i}{(3 + i)^2}$.

а)

Для вычисления частного двух комплексных чисел $\frac{3 + 7i}{3 - i}$ необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным к числу $3 - i$ является число $3 + i$.

$\frac{3 + 7i}{3 - i} = \frac{(3 + 7i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)}$

Раскроем скобки в числителе, помня, что $i^2 = -1$:
$(3 + 7i)(3 + i) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot i + 7i \cdot 3 + 7i \cdot i = 9 + 3i + 21i + 7i^2 = 9 + 24i - 7 = 2 + 24i$.

Раскроем скобки в знаменателе по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ или по свойству $z \cdot \bar{z} = a^2+b^2$ для комплексного числа $z = a+bi$:
$(3 - i)(3 + i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$.

Подставим полученные значения обратно в дробь и упростим:
$\frac{2 + 24i}{10} = \frac{2}{10} + \frac{24}{10}i = \frac{1}{5} + \frac{12}{5}i$.

Ответ: $\frac{1}{5} + \frac{12}{5}i$.

б)

Сначала упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:
$-i(3 + i) = -3i - i^2 = -3i - (-1) = 1 - 3i$.

Теперь задача сводится к делению комплексных чисел $\frac{1 - 3i}{7 - i}$. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $7 + i$.

$\frac{1 - 3i}{7 - i} = \frac{(1 - 3i)(7 + i)}{(7 - i)(7 + i)}$

Вычислим числитель:
$(1 - 3i)(7 + i) = 1 \cdot 7 + 1 \cdot i - 3i \cdot 7 - 3i \cdot i = 7 + i - 21i - 3i^2 = 7 - 20i - 3(-1) = 7 - 20i + 3 = 10 - 20i$.

Вычислим знаменатель:
$(7 - i)(7 + i) = 7^2 - i^2 = 49 - (-1) = 50$.

Подставим результаты и упростим дробь:
$\frac{10 - 20i}{50} = \frac{10}{50} - \frac{20}{50}i = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$.

Ответ: $\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$.

в)

Для начала упростим числитель и знаменатель исходной дроби по отдельности.

Числитель: $(2 + 3i)(4 - i) = 2 \cdot 4 - 2 \cdot i + 3i \cdot 4 - 3i \cdot i = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i - 3(-1) = 11 + 10i$.

Знаменатель: $i(1 - 7i) = i - 7i^2 = i - 7(-1) = 7 + i$.

Теперь наша дробь имеет вид: $\frac{11 + 10i}{7 + i}$.

Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $7 - i$.

$\frac{11 + 10i}{7 + i} = \frac{(11 + 10i)(7 - i)}{(7 + i)(7 - i)}$

Вычислим новый числитель:
$(11 + 10i)(7 - i) = 11 \cdot 7 - 11 \cdot i + 10i \cdot 7 - 10i \cdot i = 77 - 11i + 70i - 10i^2 = 77 + 59i - 10(-1) = 87 + 59i$.

Вычислим новый знаменатель:
$(7 + i)(7 - i) = 7^2 - i^2 = 49 - (-1) = 50$.

Подставим результаты и запишем в алгебраической форме:
$\frac{87 + 59i}{50} = \frac{87}{50} + \frac{59}{50}i$.

Ответ: $\frac{87}{50} + \frac{59}{50}i$.

г)

Упростим числитель и знаменатель исходной дроби.

Для упрощения числителя воспользуемся свойствами степеней мнимой единицы: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$. Отсюда $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.
Числитель: $i^5 + i^4 + i = i + 1 + i = 1 + 2i$.

Для упрощения знаменателя раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(3 + i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$.

Дробь принимает вид: $\frac{1 + 2i}{8 + 6i}$.

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $8 - 6i$.

$\frac{1 + 2i}{8 + 6i} = \frac{(1 + 2i)(8 - 6i)}{(8 + 6i)(8 - 6i)}$

Вычислим новый числитель:
$(1 + 2i)(8 - 6i) = 1 \cdot 8 - 1 \cdot 6i + 2i \cdot 8 - 2i \cdot 6i = 8 - 6i + 16i - 12i^2 = 8 + 10i - 12(-1) = 20 + 10i$.

Вычислим новый знаменатель:
$(8 + 6i)(8 - 6i) = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Подставим результаты и упростим:
$\frac{20 + 10i}{100} = \frac{20}{100} + \frac{10}{100}i = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}i$.

Ответ: $\frac{1}{5} + \frac{1}{10}i$.