Номер 9.44, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.44, страница 56.

9.44. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на монотонность и экстремум и постройте её график:

a) $y = \sqrt{x - x}$;

б) $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x}$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}$;

г) $y = x\sqrt{x} + 2.$

а) $y = \sqrt{x} - x$

1. Область определения. Функция определена при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки. Найдем производную функции по $x$:

$y' = (\sqrt{x} - x)' = (x^{1/2} - x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Производная определена для всех $x > 0$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 \implies 2\sqrt{x} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4}$.

Также к критическим точкам относится точка $x=0$, в которой производная не существует (и которая является граничной точкой области определения).

3. Промежутки монотонности и экстремумы. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой $x = \frac{1}{4}$: это $(0, \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}, +\infty)$.

- На интервале $(0, \frac{1}{4})$ возьмем пробную точку $x=0.01$. $y'(0.01) = \frac{1}{2\sqrt{0.01}} - 1 = \frac{1}{0.2} - 1 = 5 - 1 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[0, \frac{1}{4}]$.

- На интервале $(\frac{1}{4}, +\infty)$ возьмем пробную точку $x=1$. $y'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -0.5 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[\frac{1}{4}, +\infty)$.

В точке $x=\frac{1}{4}$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке: $y_{max} = y(\frac{1}{4}) = \sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Точка максимума $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$.

4. Построение графика. Найдем точки пересечения с осями. При $x=0$, $y=0$. При $y=0$, $\sqrt{x}-x=0 \implies \sqrt{x}(1-\sqrt{x})=0$, откуда $x=0$ или $x=1$. Точки пересечения: $(0,0)$ и $(1,0)$. График начинается в точке $(0,0)$, возрастает до точки $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$, а затем убывает, пересекая ось Ох в точке $(1,0)$ и уходя в $-\infty$ при $x \to +\infty$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, \frac{1}{4}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{4}, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = \frac{1}{4}$, $y_{max} = \frac{1}{4}$.

---

б) $y = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$

1. Область определения. Для существования $\sqrt{x}$ необходимо $x \ge 0$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \frac{(\sqrt{x}-1)' \cdot x - (\sqrt{x}-1) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot x - (\sqrt{x}-1)}{x^2} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{2} - \sqrt{x} + 1}{x^2} = \frac{1-\frac{\sqrt{x}}{2}}{x^2} = \frac{2-\sqrt{x}}{2x^2}$.

Производная определена во всей области определения функции.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$: $\frac{2-\sqrt{x}}{2x^2} = 0 \implies 2-\sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$.

3. Промежутки монотонности и экстремумы. Критическая точка $x=4$ разбивает область $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$.

- На интервале $(0, 4)$ (например, при $x=1$), $y' = \frac{2-\sqrt{1}}{2(1)^2} = \frac{1}{2} > 0$, функция возрастает на $(0, 4]$.

- На интервале $(4, +\infty)$ (например, при $x=9$), $y' = \frac{2-\sqrt{9}}{2(9)^2} = \frac{-1}{162} < 0$, функция убывает на $[4, +\infty)$.

В точке $x=4$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума. $y_{max} = y(4) = \frac{\sqrt{4}-1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$. Точка максимума $(4, \frac{1}{4})$.

4. Построение графика. Исследуем поведение на границах. При $x \to 0^+$, $y \to \frac{-1}{0^+} \to -\infty$. Значит, $x=0$ (ось OY) — вертикальная асимптота. При $x \to +\infty$, $y = \frac{\sqrt{x}-1}{x} \approx \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$. Значит, $y=0$ (ось OX) — горизонтальная асимптота. Точка пересечения с осью OX: $y=0 \implies \sqrt{x}-1=0 \implies x=1$. График выходит из $-\infty$ около оси OY, возрастает, пересекает ось OX в точке $(1,0)$, достигает максимума в $(4, \frac{1}{4})$ и затем асимптотически приближается к оси OX сверху.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0, 4]$ и убывает на промежутке $[4, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 4$, $y_{max} = \frac{1}{4}$.

---

в) $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}$

1. Область определения. Выражение $\sqrt{x}$ в знаменателе требует, чтобы $x > 0$. Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки. Перепишем функцию в виде $y = x^{-1/2} + x^{1/2}$.

$y' = -\frac{1}{2}x^{-3/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.

Производная определена на всей области определения. Найдем критические точки из условия $y'=0$: $\frac{x-1}{2x\sqrt{x}} = 0 \implies x-1 = 0 \implies x=1$.

3. Промежутки монотонности и экстремумы. Критическая точка $x=1$ делит область определения на интервалы $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

- На интервале $(0, 1)$, $x-1 < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает на $(0, 1]$.

- На интервале $(1, +\infty)$, $x-1 > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает на $[1, +\infty)$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(1) = \frac{1}{\sqrt{1}} + \sqrt{1} = 1+1=2$. Точка минимума $(1, 2)$.

4. Построение графика. При $x \to 0^+$, $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \to +\infty$. Значит, $x=0$ — вертикальная асимптота. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Пересечений с осями нет, так как минимальное значение функции равно 2. График представляет собой кривую, которая убывает от $+\infty$ вдоль оси OY до точки минимума $(1,2)$, а затем возрастает до $+\infty$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = 2$.

---

г) $y = x\sqrt{x+2}$

1. Область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Область определения: $D(y) = [-2, +\infty)$.

2. Производная и критические точки. Найдем производную по правилу произведения:

$y' = (x)'\sqrt{x+2} + x(\sqrt{x+2})' = 1 \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \sqrt{x+2} + \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$.

Производная определена при $x > -2$. Критические точки: $y'=0 \implies 3x+4=0 \implies x = -\frac{4}{3}$. Также $x=-2$ — граничная точка, где производная не существует.

3. Промежутки монотонности и экстремумы. Исследуем знак производной на интервалах $(-2, -\frac{4}{3})$ и $(-\frac{4}{3}, +\infty)$.

- На интервале $(-2, -\frac{4}{3})$ (например, при $x=-1.5$), $3x+4 = 3(-1.5)+4 = -0.5 < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает на $[-2, -\frac{4}{3}]$.

- На интервале $(-\frac{4}{3}, +\infty)$ (например, при $x=0$), $3x+4 = 4 > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает на $[-\frac{4}{3}, +\infty)$.

В точке $x = -\frac{4}{3}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2} = -\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$. Точка минимума $(-\frac{4}{3}, -\frac{4\sqrt{6}}{9})$.

4. Построение графика. Точки пересечения с осями: $y=0 \implies x\sqrt{x+2}=0$, откуда $x=0$ или $x=-2$. График проходит через точки $(-2,0)$ и $(0,0)$. График начинается в точке $(-2,0)$, убывает до точки минимума $(-\frac{4}{3}, -\frac{4\sqrt{6}}{9}) \approx (-1.33, -1.09)$, затем возрастает, проходя через начало координат, и уходит в $+\infty$ при $x \to +\infty$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-2, -\frac{4}{3}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{4}{3}, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -\frac{4}{3}$, $y_{min} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$.