Номер 9.40, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.40, страница 55.

9.40. Проведите касательную к графику функции $y = f(x)$, параллельную заданной прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$, $y = x - 2$;

б) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $y = 5 - 3x$.

а)

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, параллельной данной прямой $y = kx + m$, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равны. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$ и прямая $y = x - 2$.

1. Угловой коэффициент данной прямой $y = x - 2$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k = 1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования представим функцию в степенном виде: $f(x) = 4x^{1/4}$.

$f'(x) = (4x^{1/4})' = 4 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{x^{3/4}}$.

3. Условие параллельности касательной и данной прямой: $f'(x_0) = k$. Найдём абсциссу точки касания $x_0$:
$\frac{1}{x_0^{3/4}} = 1$
$x_0^{3/4} = 1$
Отсюда следует, что $x_0 = 1$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0=1$ в уравнение функции:

$y_0 = f(1) = 4\sqrt[4]{1} = 4 \cdot 1 = 4$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, 4)$.

5. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$:
$y = 4 + 1(x - 1)$
$y = 4 + x - 1$
$y = x + 3$.

Ответ: $y = x + 3$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3}$ и прямая $y = 5 - 3x$.

1. Угловой коэффициент данной прямой $y = -3x + 5$ равен $k = -3$.

2. Найдём производную функции $f(x)$. Представим функцию в степенном виде: $f(x) = x^{-3}$.

$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

3. Найдём абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = k$:
$-\frac{3}{x_0^4} = -3$
Разделив обе части на -3, получим:
$\frac{1}{x_0^4} = 1$
$x_0^4 = 1$
Это уравнение имеет два действительных решения: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Это означает, что существуют две касательные к графику функции, параллельные данной прямой.

4. Найдём координаты точек касания.

Случай 1: $x_0 = 1$.
$y_0 = f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.
Первая точка касания: $(1, 1)$.

Случай 2: $x_0 = -1$.
$y_0 = f(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1$.
Вторая точка касания: $(-1, -1)$.

5. Составим уравнения для каждой касательной. Угловой коэффициент для обеих равен $k = -3$.

Уравнение первой касательной (в точке $(1, 1)$):
$y = 1 + (-3)(x - 1)$
$y = 1 - 3x + 3$
$y = -3x + 4$.

Уравнение второй касательной (в точке $(-1, -1)$):
$y = -1 + (-3)(x - (-1))$
$y = -1 - 3(x + 1)$
$y = -1 - 3x - 3$
$y = -3x - 4$.

Ответ: $y = -3x + 4$ и $y = -3x - 4$.