Номер 9.43, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.43, страница 55.

9.43. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

a) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x;$

б) $y = -\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x.$

а) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$

1. Найдем область определения функции. Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней: $y = \frac{2}{3}x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 2x = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$.

3. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$.

4. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и найдем точки, где она не существует. Производная $y'$ определена на всей области определения функции $D(y')=[0, +\infty)$.

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$.

Критическая точка $x=4$ и граничная точка области определения $x=0$ разбивают область определения на интервалы $[0, 4]$ и $[4, +\infty)$.

5. Определим знаки производной на этих интервалах, чтобы найти промежутки монотонности функции.

На промежутке $[0, 4)$, возьмем пробную точку $x=1$. $y'(1) = \sqrt{1} - 2 = -1 < 0$. Следовательно, на промежутке $[0, 4]$ функция убывает.

На промежутке $(4, +\infty)$, возьмем пробную точку $x=9$. $y'(9) = \sqrt{9} - 2 = 1 > 0$. Следовательно, на промежутке $[4, +\infty)$ функция возрастает.

6. Найдем точки экстремума.

В точке $x=4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=4$ — точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - 8 = \frac{16}{3} - 8 = -\frac{8}{3}$.

Точка $x=0$ является левой границей области определения. Поскольку функция убывает на отрезке $[0, 4]$, точка $x=0$ является точкой локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(0) = \frac{2}{3} \cdot 0\sqrt{0} - 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, 4]$; точка максимума $(0, 0)$; точка минимума $(4, -\frac{8}{3})$.

б) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$

1. Найдем область определения функции. Выражение $x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$ определено для всех действительных чисел $x$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 1 = x^{-\frac{1}{3}} - 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

3. Найдем критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $\sqrt[3]{x} = 0$, что дает $x=0$.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = 1 \Rightarrow x=1$.

Критические точки $x=0$ и $x=1$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

4. Определим знаки производной на этих интервалах. Для удобства запишем производную в виде $y' = \frac{1 - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$.

На промежутке $(-\infty, 0)$, например при $x=-8$: $y'(-8) = \frac{1 - \sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{-8}} = \frac{1 - (-2)}{-2} = -\frac{3}{2} < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает.

На промежутке $(0, 1)$, например при $x=1/8$: $y'(1/8) = \frac{1 - \sqrt[3]{1/8}}{\sqrt[3]{1/8}} = \frac{1 - 1/2}{1/2} = 1 > 0$. Следовательно, на промежутке $[0, 1]$ функция возрастает.

На промежутке $(1, +\infty)$, например при $x=8$: $y'(8) = \frac{1 - \sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1 - 2}{2} = -\frac{1}{2} < 0$. Следовательно, на промежутке $[1, +\infty)$ функция убывает.

5. Найдем точки экстремума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=0$ — точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = \frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}} - 0 = 0$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, $x=1$ — точка локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$; точка минимума $(0, 0)$; точка максимума $(1, \frac{1}{2})$.