Номер 9.38, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.38, страница 55.

9.38. Найдите угол, образованный касательной к графику функции $y = g(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс:

a) $g(x) = \frac{2}{3}\sqrt{4 - 3x}, x_0 = -\frac{1}{3};$

б) $g(x) = -3(\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}}, x_0 = 1 - \sqrt{2}. $

а) Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции $y=g(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс, находится через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания: $\tan(\alpha) = g'(x_0)$.

Дана функция $g(x) = \frac{2}{3}\sqrt{4 - 3x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

Сначала найдем производную функции $g(x)$. Для удобства представим корень как степень: $g(x) = \frac{2}{3}(4 - 3x)^{\frac{1}{2}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(h(x)))' = f'(h(x)) \cdot h'(x)$.

$g'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{dx}((4 - 3x)^{\frac{1}{2}}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(4 - 3x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (4-3x)'$

$g'(x) = \frac{1}{3}(4 - 3x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-3) = -(4 - 3x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{4 - 3x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

$g'(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{4 - 3 \cdot \frac{1}{3}}} = -\frac{1}{\sqrt{4 - 1}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Мы получили, что тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол $\alpha$ с положительным направлением оси абсцисс, для которого $\tan(\alpha) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, находится в диапазоне $[0, \pi)$ или $[0^\circ, 180^\circ)$. Этот угол равен $150^\circ$ (или $\frac{5\pi}{6}$ радиан).

Ответ: $150^\circ$.

б) Дана функция $g(x) = -3(\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}}$ и точка $x_0 = 1 - \sqrt{2}$.

Как и в предыдущем пункте, найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = -3 \cdot \frac{d}{dx}((\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}}) = -3 \cdot (-\frac{1}{3})(\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}-1} \cdot (\sqrt{2}+x)'$

$g'(x) = 1 \cdot (\sqrt{2} + x)^{-\frac{4}{3}} \cdot 1 = (\sqrt{2} + x)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(\sqrt{2} + x)^{\frac{4}{3}}}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1 - \sqrt{2}$:

$g'(1 - \sqrt{2}) = \frac{1}{(\sqrt{2} + (1 - \sqrt{2}))^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{(1)^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{1} = 1$

Тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = 1$.

Угол $\alpha$, для которого $\tan(\alpha) = 1$, равен $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).

Ответ: $45^\circ$.