Номер 9.45, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.45, страница 56.

9.45. Постройте график уравнения:

а) $(3y + x)^3 = 27x;$

б) $(x + y)^3 = x^2.$

a)

Рассмотрим уравнение $(3y + x)^3 = 27x$.

Чтобы построить его график, необходимо выразить переменную y через x. Для этого извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt[3]{(3y + x)^3} = \sqrt[3]{27x}$

$3y + x = 3\sqrt[3]{x}$

Теперь выразим y:

$3y = 3\sqrt[3]{x} - x$

$y = \frac{3\sqrt[3]{x} - x}{3}$

$y = \sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x$

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x$.

Проведем исследование этой функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как кубический корень определен для любых действительных чисел.

2. Четность: Проверим, является ли функция четной или нечетной. $y(-x) = \sqrt[3]{-x} - \frac{1}{3}(-x) = -\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3}x = -(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x) = -y(x)$. Функция является нечетной, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат: При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$. При $y=0$, имеем $\sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x = 0$, что равносильно $\sqrt[3]{x}(1 - \frac{1}{3}x^{2/3}) = 0$. Отсюда либо $\sqrt[3]{x}=0 \Rightarrow x=0$, либо $1 - \frac{1}{3}x^{2/3} = 0 \Rightarrow x^{2/3}=3 \Rightarrow x^2=27 \Rightarrow x=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$, $(-3\sqrt{3}; 0)$, $(3\sqrt{3}; 0)$.

4. Экстремумы функции: Найдем производную функции: $y' = (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x)' = (x^{1/3})' - (\frac{1}{3}x)' = \frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{3}$. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$. При $x=1$, $y(1) = \sqrt[3]{1} - \frac{1}{3}(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Это точка локального максимума. При $x=-1$, $y(-1) = \sqrt[3]{-1} - \frac{1}{3}(-1) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. Это точка локального минимума.

Ответ: Графиком уравнения является кривая, заданная функцией $y = \sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x$. Это нечётная функция, её график симметричен относительно начала координат. График пересекает ось абсцисс в точках $(-3\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$ и $(3\sqrt{3}; 0)$. Функция имеет точку локального минимума $(-1; -2/3)$ и точку локального максимума $(1; 2/3)$.

б)

Рассмотрим уравнение $(x + y)^3 = x^2$.

Правая часть уравнения $x^2$ всегда неотрицательна, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной: $(x + y)^3 \ge 0$, что равносильно $x + y \ge 0$, или $y \ge -x$. Это означает, что весь график уравнения лежит в полуплоскости выше прямой $y = -x$ или на самой прямой.

Выразим y через x. Для этого извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt[3]{(x + y)^3} = \sqrt[3]{x^2}$

$x + y = \sqrt[3]{x^2}$

Отсюда получаем функцию:

$y = \sqrt[3]{x^2} - x$

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \sqrt[3]{x^2} - x$.

Проведем исследование этой функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение под корнем $x^2$ всегда неотрицательно.

2. Точки пересечения с осями координат: При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$. При $y=0$, имеем $\sqrt[3]{x^2} - x = 0$, что равносильно $\sqrt[3]{x^2}(1 - \sqrt[3]{x}) = 0$. Отсюда либо $\sqrt[3]{x^2}=0 \Rightarrow x=0$, либо $1 - \sqrt[3]{x} = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x}=1 \Rightarrow x=1$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Экстремумы и характерные точки: Найдем производную функции: $y' = (\sqrt[3]{x^2} - x)' = (x^{2/3})' - (x)' = \frac{2}{3}x^{-1/3} - 1 = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - 1$. Производная не определена в точке $x=0$. Исследуем поведение функции в этой точке. Так как $\lim_{x\to 0^-} y'(x) = -\infty$ и $\lim_{x\to 0^+} y'(x) = +\infty$, в точке $(0; 0)$ график имеет точку возврата (касп), направленную вниз. Это точка локального минимума. Приравняем производную к нулю: $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$. Найдем значение функции в этой точке: $y(\frac{8}{27}) = \sqrt[3]{(\frac{8}{27})^2} - \frac{8}{27} = \sqrt[3]{\frac{64}{729}} - \frac{8}{27} = \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{12-8}{27} = \frac{4}{27}$. В точке $(\frac{8}{27}; \frac{4}{27})$ функция имеет локальный максимум.

Ответ: Графиком уравнения является кривая, заданная функцией $y = \sqrt[3]{x^2} - x$. График проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 0)$. В точке $(0; 0)$ график имеет касп (точку возврата), и это точка локального минимума. В точке $(\frac{8}{27}; \frac{4}{27})$ функция имеет локальный максимум. Весь график расположен в области $y \ge -x$.