Номер 10.4, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.4, страница 57.

Расположите комплексные числа $z_1, z_2, z_3, z_4$ в порядке возрастания их аргументов:

10.4. a) $z_1 = i, z_2 = i^2, z_3 = i^3, z_4 = i^4;$

б) $z_1 = i^{-1}, z_2 = i^{-2}, z_3 = i^{-3}, z_4 = i^{-4}.$

а)

Чтобы расположить комплексные числа в порядке возрастания их аргументов, необходимо найти эти аргументы. Аргумент комплексного числа $z = x + iy$ — это угол $\phi$ между положительной действительной осью и вектором, представляющим число $z$ на комплексной плоскости. Будем использовать значения аргументов в промежутке $[0, 2\pi)$.

Сначала вычислим значения комплексных чисел $z_1, z_2, z_3, z_4$, используя свойство мнимой единицы $i^2 = -1$.

1. $z_1 = i$. Это число находится на положительной мнимой оси. Его аргумент $\arg(z_1) = \frac{\pi}{2}$.

2. $z_2 = i^2 = -1$. Это число находится на отрицательной действительной оси. Его аргумент $\arg(z_2) = \pi$.

3. $z_3 = i^3 = i^2 \cdot i = -i$. Это число находится на отрицательной мнимой оси. Его аргумент $\arg(z_3) = \frac{3\pi}{2}$.

4. $z_4 = i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. Это число находится на положительной действительной оси. Его аргумент $\arg(z_4) = 0$.

Теперь сравним полученные аргументы:

$\arg(z_4) = 0$

$\arg(z_1) = \frac{\pi}{2}$

$\arg(z_2) = \pi$

$\arg(z_3) = \frac{3\pi}{2}$

Располагая аргументы в порядке возрастания, получаем: $0 < \frac{\pi}{2} < \pi < \frac{3\pi}{2}$.

Этому порядку соответствует следующая последовательность комплексных чисел: $z_4, z_1, z_2, z_3$.

Ответ: $z_4, z_1, z_2, z_3$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Вычислим значения комплексных чисел и их аргументы.

1. $z_1 = i^{-1} = \frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$. Аргумент этого числа $\arg(z_1) = \frac{3\pi}{2}$.

2. $z_2 = i^{-2} = \frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$. Аргумент этого числа $\arg(z_2) = \pi$.

3. $z_3 = i^{-3} = \frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$. Аргумент этого числа $\arg(z_3) = \frac{\pi}{2}$.

4. $z_4 = i^{-4} = \frac{1}{i^4} = \frac{1}{1} = 1$. Аргумент этого числа $\arg(z_4) = 0$.

Сравним полученные аргументы:

$\arg(z_4) = 0$

$\arg(z_3) = \frac{\pi}{2}$

$\arg(z_2) = \pi$

$\arg(z_1) = \frac{3\pi}{2}$

Располагая аргументы в порядке возрастания, получаем: $0 < \frac{\pi}{2} < \pi < \frac{3\pi}{2}$.

Этому порядку соответствует следующая последовательность комплексных чисел: $z_4, z_3, z_2, z_1$.

Ответ: $z_4, z_3, z_2, z_1$.