Страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

O10.2. Решите уравнение относительно $n$ ($n \in \mathbb{Z}$):

а) $i^7 + i^n = 0;$

б) $i^9 + i^n = 1 + i;$

в) $i^{-12} + i^{-13} + i^9 + i^n = 2;$

г) $i^{2005} + i^n = 1 - i.$

Для решения данных уравнений воспользуемся свойствами мнимой единицы $i$, в частности ее степенями. Степени $i$ циклически повторяются с периодом 4: $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, и так далее. В общем виде, для любого целого числа $k$, значение $i^k$ зависит от остатка от деления $k$ на 4:

• Если $k = 4m$, то $i^k = i^{4m} = (i^4)^m = 1^m = 1$.
• Если $k = 4m+1$, то $i^k = i^{4m+1} = i^{4m} \cdot i^1 = 1 \cdot i = i$.
• Если $k = 4m+2$, то $i^k = i^{4m+2} = i^{4m} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.
• Если $k = 4m+3$, то $i^k = i^{4m+3} = i^{4m} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.

где $m$ - любое целое число ($m \in \mathbb{Z}$).

а) $i^7 + i^n = 0$

Сначала упростим $i^7$. Показатель степени $7$ при делении на $4$ дает в остатке $3$ ($7 = 4 \cdot 1 + 3$).
Следовательно, $i^7 = i^3 = -i$.
Подставим это значение в уравнение: $-i + i^n = 0$
Отсюда получаем: $i^n = i$
Это равенство верно, когда показатель степени $n$ при делении на $4$ дает в остатке $1$.
Таким образом, $n$ можно представить в виде $n = 4k + 1$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $n = 4k + 1, k \in \mathbb{Z}$.

б) $i^9 + i^n = 1 + i$

Упростим $i^9$. Показатель степени $9$ при делении на $4$ дает в остатке $1$ ($9 = 4 \cdot 2 + 1$).
Следовательно, $i^9 = i^1 = i$.
Подставим в уравнение: $i + i^n = 1 + i$
Вычитая $i$ из обеих частей уравнения, получаем: $i^n = 1$
Это равенство верно, когда показатель степени $n$ делится на $4$ без остатка.
Таким образом, $n$ можно представить в виде $n = 4k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $n = 4k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $i^{-12} + i^{-13} + i^9 + i^n = 2$

Упростим каждое слагаемое:
$i^{-12} = (i^4)^{-3} = 1^{-3} = 1$, так как $-12$ делится на $4$ нацело.
$i^{-13}$: показатель $-13$ при делении на $4$ дает в остатке $3$ ($-13 = 4 \cdot (-4) + 3$). Следовательно, $i^{-13} = i^3 = -i$.
$i^9$: показатель $9$ при делении на $4$ дает в остатке $1$ ($9 = 4 \cdot 2 + 1$). Следовательно, $i^9 = i^1 = i$.
Подставим упрощенные значения в уравнение: $1 + (-i) + i + i^n = 2$
$1 + i^n = 2$
Вычитая $1$ из обеих частей, получаем: $i^n = 1$
Это равенство верно, когда показатель степени $n$ делится на $4$ без остатка.
Таким образом, $n = 4k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $n = 4k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $i^{2005} + i^n = 1 - i$

Упростим $i^{2005}$. Для этого найдем остаток от деления $2005$ на $4$. $2005 = 4 \cdot 501 + 1$. Остаток равен $1$.
Следовательно, $i^{2005} = i^1 = i$.
Подставим это значение в уравнение: $i + i^n = 1 - i$
Выразим $i^n$: $i^n = 1 - i - i$
$i^n = 1 - 2i$
Для любого целого $n$ значение $i^n$ может быть только одним из четырех: $1, i, -1, -i$.
Комплексное число $1 - 2i$ не равно ни одному из этих значений. Другой способ это показать — сравнить модули. Модуль левой части $|i^n| = |i|^n = 1^n = 1$.
Модуль правой части $|1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Так как $1 \neq \sqrt{5}$, равенство $i^n = 1 - 2i$ невозможно ни при каком целом $n$. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений ($n \in \emptyset$).

О10.3. Найдите наименьшее натуральное значение $n$, при котором:

а) число $(4 + 3i)^n$ лежит вне круга радиуса 100 с центром в начале координат;

б) число $(1 - 2i)^n$ лежит вне круга радиуса 1000 с центром в начале координат;

в) число $(i - 2)^n$ лежит вне круга радиуса $10n$ с центром в начале координат;

г) число $(1 + 3i)^n$ лежит вне круга радиуса $5n^2$ с центром в начале координат.

а) Условие того, что комплексное число $z$ лежит вне круга радиуса $R$ с центром в начале координат, записывается как $|z| > R$. В данном случае $z = (4 + 3i)^n$ и $R = 100$.

Используя свойство модуля $|z_0^n| = |z_0|^n$, получаем неравенство: $|(4 + 3i)^n| > 100$.

Найдем модуль комплексного числа $4 + 3i$:

$|4 + 3i| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Тогда неравенство принимает вид:

$5^n > 100$.

Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Проверим значения $n$ по порядку:

• При $n = 1$: $5^1 = 5$, что меньше 100.
• При $n = 2$: $5^2 = 25$, что меньше 100.
• При $n = 3$: $5^3 = 125$, что больше 100.

Таким образом, наименьшее натуральное значение $n$ равно 3.

Ответ: 3.

б) В данном случае $z = (1 - 2i)^n$ и $R = 1000$. Неравенство имеет вид $|(1 - 2i)^n| > 1000$.

Найдем модуль комплексного числа $1 - 2i$:

$|1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Неравенство принимает вид:

$(\sqrt{5})^n > 1000$.

Проверим значения $n$ по порядку. Удобнее сравнивать квадраты обеих частей: $5^n > 1000^2 = 10^6$.

• $5^8 = (5^4)^2 = 625^2 = 390625 < 10^6$. Значит $(\sqrt{5})^8 = 625 < 1000$.
• $5^9 = 5^8 \cdot 5 = 1953125 > 10^6$. Значит $(\sqrt{5})^9 > 1000$. Для проверки: $(\sqrt{5})^9 = (\sqrt{5})^8 \cdot \sqrt{5} = 625\sqrt{5}$. Так как $2.23^2 = 4.9729 < 5$, то $\sqrt{5} > 2.23$. Тогда $625\sqrt{5} > 625 \cdot 1.6 = 1000$. Неравенство $(\sqrt{5})^9 > 1000$ выполняется.

Наименьшее натуральное значение $n$ равно 9.

Ответ: 9.

в) Здесь $z = (i - 2)^n$ и $R = 10n$. Неравенство имеет вид $|(i - 2)^n| > 10n$.

Найдем модуль комплексного числа $i - 2 = -2 + i$:

$|i - 2| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Неравенство принимает вид:

$(\sqrt{5})^n > 10n$.

Найдем наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому неравенству, путем подстановки:

• При $n = 1$: $(\sqrt{5})^1 \approx 2.24$, $10 \cdot 1 = 10$. Неравенство $2.24 > 10$ ложно.
• При $n = 2$: $(\sqrt{5})^2 = 5$, $10 \cdot 2 = 20$. Неравенство $5 > 20$ ложно.
• При $n = 3$: $(\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5} \approx 11.18$, $10 \cdot 3 = 30$. Неравенство $11.18 > 30$ ложно.
• При $n = 4$: $(\sqrt{5})^4 = 25$, $10 \cdot 4 = 40$. Неравенство $25 > 40$ ложно.
• При $n = 5$: $(\sqrt{5})^5 = 25\sqrt{5}$. Сравним $25\sqrt{5}$ и $10 \cdot 5 = 50$. Разделим на 25: $\sqrt{5}$ и 2. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Неравенство истинно.

Наименьшее натуральное значение $n$ равно 5.

Ответ: 5.

г) Здесь $z = (1 + 3i)^n$ и $R = 5n^2$. Неравенство имеет вид $|(1 + 3i)^n| > 5n^2$.

Найдем модуль комплексного числа $1 + 3i$:

$|1 + 3i| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Неравенство принимает вид:

$(\sqrt{10})^n > 5n^2$.

Найдем наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому неравенству, путем подстановки:

• При $n = 1$: $(\sqrt{10})^1 = \sqrt{10} \approx 3.16$, $5 \cdot 1^2 = 5$. Неравенство $3.16 > 5$ ложно.
• При $n = 2$: $(\sqrt{10})^2 = 10$, $5 \cdot 2^2 = 20$. Неравенство $10 > 20$ ложно.
• При $n = 3$: $(\sqrt{10})^3 = 10\sqrt{10}$. Сравним $10\sqrt{10}$ и $5 \cdot 3^2 = 45$. Разделим на 5: $2\sqrt{10}$ и 9. Возведем в квадрат: $(2\sqrt{10})^2 = 40$, $9^2 = 81$. Так как $40 < 81$, неравенство $10\sqrt{10} > 45$ ложно.
• При $n = 4$: $(\sqrt{10})^4 = 100$, $5 \cdot 4^2 = 5 \cdot 16 = 80$. Неравенство $100 > 80$ истинно.

Наименьшее натуральное значение $n$ равно 4.

Ответ: 4.

Расположите комплексные числа $z_1, z_2, z_3, z_4$ в порядке возрастания их аргументов:

10.4. a) $z_1 = i, z_2 = i^2, z_3 = i^3, z_4 = i^4;$

б) $z_1 = i^{-1}, z_2 = i^{-2}, z_3 = i^{-3}, z_4 = i^{-4}.$

а)

Чтобы расположить комплексные числа в порядке возрастания их аргументов, необходимо найти эти аргументы. Аргумент комплексного числа $z = x + iy$ — это угол $\phi$ между положительной действительной осью и вектором, представляющим число $z$ на комплексной плоскости. Будем использовать значения аргументов в промежутке $[0, 2\pi)$.

Сначала вычислим значения комплексных чисел $z_1, z_2, z_3, z_4$, используя свойство мнимой единицы $i^2 = -1$.

1. $z_1 = i$. Это число находится на положительной мнимой оси. Его аргумент $\arg(z_1) = \frac{\pi}{2}$.

2. $z_2 = i^2 = -1$. Это число находится на отрицательной действительной оси. Его аргумент $\arg(z_2) = \pi$.

3. $z_3 = i^3 = i^2 \cdot i = -i$. Это число находится на отрицательной мнимой оси. Его аргумент $\arg(z_3) = \frac{3\pi}{2}$.

4. $z_4 = i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. Это число находится на положительной действительной оси. Его аргумент $\arg(z_4) = 0$.

Теперь сравним полученные аргументы:

$\arg(z_4) = 0$

$\arg(z_1) = \frac{\pi}{2}$

$\arg(z_2) = \pi$

$\arg(z_3) = \frac{3\pi}{2}$

Располагая аргументы в порядке возрастания, получаем: $0 < \frac{\pi}{2} < \pi < \frac{3\pi}{2}$.

Этому порядку соответствует следующая последовательность комплексных чисел: $z_4, z_1, z_2, z_3$.

Ответ: $z_4, z_1, z_2, z_3$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Вычислим значения комплексных чисел и их аргументы.

1. $z_1 = i^{-1} = \frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$. Аргумент этого числа $\arg(z_1) = \frac{3\pi}{2}$.

2. $z_2 = i^{-2} = \frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$. Аргумент этого числа $\arg(z_2) = \pi$.

3. $z_3 = i^{-3} = \frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$. Аргумент этого числа $\arg(z_3) = \frac{\pi}{2}$.

4. $z_4 = i^{-4} = \frac{1}{i^4} = \frac{1}{1} = 1$. Аргумент этого числа $\arg(z_4) = 0$.

Сравним полученные аргументы:

$\arg(z_4) = 0$

$\arg(z_3) = \frac{\pi}{2}$

$\arg(z_2) = \pi$

$\arg(z_1) = \frac{3\pi}{2}$

Располагая аргументы в порядке возрастания, получаем: $0 < \frac{\pi}{2} < \pi < \frac{3\pi}{2}$.

Этому порядку соответствует следующая последовательность комплексных чисел: $z_4, z_3, z_2, z_1$.

Ответ: $z_4, z_3, z_2, z_1$.

10.5. a) $z_1 = \sqrt{3} - 2 + i(\pi - 4)$

$z_2 = \sqrt{5} - 2 + i(\pi^2 - 9)$

$z_3 = \sqrt[4]{17} - \sqrt[5]{31} + i(1 - 2^{0.2})$

$z_4 = \sqrt[10]{1000} - \sqrt[9]{600} + i(3^{\frac{2}{3}} - 4^{\frac{2}{5}})$

б) $z_1 = \sin 200^{\circ} + i \cos 170^{\circ}$

$z_2 = \sin 250^{\circ} + i \cos 70^{\circ}$

$z_3 = \cos 440^{\circ} + i \cos 460^{\circ}$

$z_4 = \operatorname{tg} 185^{\circ} + i \arccos 0,9$

Для определения квадранта, в котором находится комплексное число $z = x + iy$, необходимо определить знаки его действительной части $x$ и мнимой части $y$.

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

а)

$z_1 = \sqrt{3} - 2 + i(\pi - 4)$

Действительная часть: $x_1 = \sqrt{3} - 2$. Так как $3 < 4$, то $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $x_1 = \sqrt{3} - 2 < 0$.

Мнимая часть: $y_1 = \pi - 4$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\pi < 4$. Следовательно, $y_1 = \pi - 4 < 0$.

Поскольку $x_1 < 0$ и $y_1 < 0$, комплексное число $z_1$ находится в третьей координатной четверти.

Ответ: третья четверть.

$z_2 = \sqrt{5} - 2 + i(\pi^2 - 9)$

Действительная часть: $x_2 = \sqrt{5} - 2$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $x_2 = \sqrt{5} - 2 > 0$.

Мнимая часть: $y_2 = \pi^2 - 9$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\pi^2 \approx 9.87 > 9$. Следовательно, $y_2 = \pi^2 - 9 > 0$.

Поскольку $x_2 > 0$ и $y_2 > 0$, комплексное число $z_2$ находится в первой координатной четверти.

Ответ: первая четверть.

$z_3 = \sqrt[4]{17} - \sqrt[5]{31} + i(1 - 2^{0.2})$

Действительная часть: $x_3 = \sqrt[4]{17} - \sqrt[5]{31}$. Сравним $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[5]{31}$ с числом 2. Так как $17 > 16$, то $\sqrt[4]{17} > \sqrt[4]{16} = 2$. Так как $31 < 32$, то $\sqrt[5]{31} < \sqrt[5]{32} = 2$. Получаем, что $\sqrt[4]{17} > 2$ и $\sqrt[5]{31} < 2$, значит $\sqrt[4]{17} > \sqrt[5]{31}$. Следовательно, $x_3 > 0$.

Мнимая часть: $y_3 = 1 - 2^{0.2} = 1 - \sqrt[5]{2}$. Так как $2 > 1$, то $\sqrt[5]{2} > \sqrt[5]{1} = 1$. Следовательно, $y_3 = 1 - \sqrt[5]{2} < 0$.

Поскольку $x_3 > 0$ и $y_3 < 0$, комплексное число $z_3$ находится в четвертой координатной четверти.

Ответ: четвертая четверть.

$z_4 = \sqrt[10]{1000} - \sqrt[9]{600} + i(3^{\frac{2}{3}} - 4^{\frac{2}{5}})$

Действительная часть: $x_4 = \sqrt[10]{1000} - \sqrt[9]{600}$. Сравним $\sqrt[10]{1000}$ и $\sqrt[9]{600}$ с числом 2. Так как $1000 < 1024 = 2^{10}$, то $\sqrt[10]{1000} < \sqrt[10]{1024} = 2$. Так как $600 > 512 = 2^9$, то $\sqrt[9]{600} > \sqrt[9]{512} = 2$. Получаем, что $\sqrt[10]{1000} < 2$ и $\sqrt[9]{600} > 2$, значит $\sqrt[10]{1000} < \sqrt[9]{600}$. Следовательно, $x_4 < 0$.

Мнимая часть: $y_4 = 3^{\frac{2}{3}} - 4^{\frac{2}{5}} = \sqrt[3]{9} - \sqrt[5]{16}$. Чтобы сравнить $\sqrt[3]{9}$ и $\sqrt[5]{16}$, возведем оба числа в 15-ю степень: $(\sqrt[3]{9})^{15} = 9^5 = (3^2)^5 = 3^{10} = 59049$. $(\sqrt[5]{16})^{15} = 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} = 4096$. Так как $59049 > 4096$, то $\sqrt[3]{9} > \sqrt[5]{16}$. Следовательно, $y_4 > 0$.

Поскольку $x_4 < 0$ и $y_4 > 0$, комплексное число $z_4$ находится во второй координатной четверти.

Ответ: вторая четверть.

б)

Для определения знаков тригонометрических функций будем использовать их значения в разных четвертях:

• I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha > 0$
• II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$
• III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha > 0$
• IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$

$z_1 = \sin 200^\circ + i \cos 170^\circ$

Действительная часть: $x_1 = \sin 200^\circ$. Угол $200^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Следовательно, $x_1 < 0$.

Мнимая часть: $y_1 = \cos 170^\circ$. Угол $170^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 170^\circ < 180^\circ$), где косинус отрицателен. Следовательно, $y_1 < 0$.

Поскольку $x_1 < 0$ и $y_1 < 0$, комплексное число $z_1$ находится в третьей координатной четверти.

Ответ: третья четверть.

$z_2 = \sin 250^\circ + i \cos 70^\circ$

Действительная часть: $x_2 = \sin 250^\circ$. Угол $250^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Следовательно, $x_2 < 0$.

Мнимая часть: $y_2 = \cos 70^\circ$. Угол $70^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 70^\circ < 90^\circ$), где косинус положителен. Следовательно, $y_2 > 0$.

Поскольку $x_2 < 0$ и $y_2 > 0$, комплексное число $z_2$ находится во второй координатной четверти.

Ответ: вторая четверть.

$z_3 = \cos 440^\circ + i \cos 460^\circ$

Действительная часть: $x_3 = \cos 440^\circ = \cos(360^\circ + 80^\circ) = \cos 80^\circ$. Угол $80^\circ$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $x_3 > 0$.

Мнимая часть: $y_3 = \cos 460^\circ = \cos(360^\circ + 100^\circ) = \cos 100^\circ$. Угол $100^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $y_3 < 0$.

Поскольку $x_3 > 0$ и $y_3 < 0$, комплексное число $z_3$ находится в четвертой координатной четверти.

Ответ: четвертая четверть.

$z_4 = \tan 185^\circ + i \arccos 0.9$

Действительная часть: $x_4 = \tan 185^\circ$. Угол $185^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 185^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен. Следовательно, $x_4 > 0$.

Мнимая часть: $y_4 = \arccos 0.9$. Область значений функции арккосинус — отрезок $[0, \pi]$. Так как аргумент $0.9$ положителен ($0 < 0.9 < 1$), значение $\arccos 0.9$ будет находиться в интервале $(0, \pi/2)$. Следовательно, $y_4 > 0$.

Поскольку $x_4 > 0$ и $y_4 > 0$, комплексное число $z_4$ находится в первой координатной четверти.

Ответ: первая четверть.

○10.6. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел $z$, для которых выполняется заданное неравенство:

a) $Re\bar{z} > 3;$

б) $Im\bar{z} \ge 5;$

в) $Re\bar{z} > Im\bar{z};$

г) $Re\bar{z} \le Im\bar{z}.$

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ - его действительная часть, а $y = \text{Im } z$ - мнимая часть. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z}$ равно $\bar{z} = x - iy$. Действительная часть числа $\bar{z}$ есть $\text{Re } \bar{z} = x$, а мнимая часть - $\text{Im } \bar{z} = -y$. На комплексной плоскости числу $z$ соответствует точка с координатами $(x, y)$.

а)

Неравенство $\text{Re } \bar{z} > 3$ преобразуется к виду $x > 3$. Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости, у которых действительная координата $x$ строго больше 3. Геометрически это представляет собой открытую полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x=3$. Так как неравенство строгое, сама прямая $x=3$ в искомое множество не входит и изображается пунктирной линией.

Ответ: открытая полуплоскость, расположенная справа от вертикальной прямой $x=3$. Сама прямая в множество не входит.

б)

Неравенство $\text{Im } \bar{z} \ge 5$ преобразуется к виду $-y \ge 5$. Умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим $y \le -5$. Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости, у которых мнимая координата $y$ меньше или равна -5. Геометрически это представляет собой замкнутую полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y=-5$. Так как неравенство нестрогое, сама прямая $y=-5$ включается в искомое множество и изображается сплошной линией.

Ответ: замкнутая полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой $y=-5$. Сама прямая входит в множество.

в)

Неравенство $\text{Re } \bar{z} > \text{Im } \bar{z}$ преобразуется к виду $x > -y$. Переписав неравенство, получим $y > -x$. Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости, которые лежат выше прямой $y=-x$. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на самой прямой $y=-x$, в множество не входят. Прямая изображается пунктирной линией.

Ответ: открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y=-x$. Сама прямая в множество не входит.

г)

Неравенство $\text{Re } \bar{z} \le \text{Im } \bar{z}$ преобразуется к виду $x \le -y$. Переписав неравенство, получим $y \le -x$. Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости, которые лежат на прямой $y=-x$ или ниже неё. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Поскольку неравенство нестрогое, точки, лежащие на самой прямой $y=-x$, включаются в искомое множество. Прямая изображается сплошной линией.

Ответ: замкнутая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y=-x$, включая саму прямую.