Страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите значение выражения:

11.6. а) $(2^{-3})^2 \cdot 2^5;$

в) $(3^{2,7})^3 : 3^{5,1};$

б) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1}\right)^6 : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6};$

г) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5.$

а) Для нахождения значения выражения $(2^{-3})^2 \cdot 2^5$ воспользуемся свойствами степеней.
1. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$.
2. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^{-6} \cdot 2^5 = 2^{-6+5} = 2^{-1}$.
3. Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для нахождения значения выражения $\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{4,1} \right)^6 : \left( \frac{2}{3} \right)^{20,6}$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{4,1} \right)^6 = \left( \frac{2}{3} \right)^{4,1 \cdot 6} = \left( \frac{2}{3} \right)^{24,6}$.
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$\left( \frac{2}{3} \right)^{24,6} : \left( \frac{2}{3} \right)^{20,6} = \left( \frac{2}{3} \right)^{24,6 - 20,6} = \left( \frac{2}{3} \right)^4$.
3. Вычислим значение полученной степени:
$\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.
Ответ: $\frac{16}{81}$

в) Для нахождения значения выражения $(3^{2,7})^3 : 3^{5,1}$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^{2,7})^3 = 3^{2,7 \cdot 3} = 3^{8,1}$.
2. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$3^{8,1} : 3^{5,1} = 3^{8,1 - 5,1} = 3^3$.
3. Вычислим значение:
$3^3 = 27$.
Ответ: $27$

г) Для нахождения значения выражения $\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^5$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^{-3 \cdot 2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-6}$.
2. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$\left( \frac{2}{3} \right)^{-6} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^5 = \left( \frac{2}{3} \right)^{-6+5} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1}$.
3. Степень с отрицательным показателем равна обратному числу в положительной степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$\left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

11.7. a) $\sqrt[4]{8} \cdot 2^{0.5} : 2^{1.25},$

б) $\sqrt[4]{10000} \cdot \sqrt{100} : 10^3;$

В) $\sqrt[3]{81} \cdot 3^{2.6} : 3^{1.6},$

Г) $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[3]{128} : 2^3.$

а) $\sqrt[4]{8} \cdot 2^{0,5} : 2^{1,25}$

Для решения представим все числа в виде степеней с основанием 2.
Корень четвертой степени из 8 можно записать как $\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}$.
Десятичные показатели степени представим в виде обыкновенных дробей: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $1,25 = \frac{5}{4}$.
Теперь выражение выглядит так: $2^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{5}{4}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении – вычитаются:
$2^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{5}{4}}$.
Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 4:
$2^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4} - \frac{5}{4}} = 2^{\frac{3+2-5}{4}} = 2^{\frac{0}{4}} = 2^0$.
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.
Ответ: 1

б) $\sqrt[4]{10000} \cdot \sqrt{100} : 10^3$

Представим все числа в виде степеней с основанием 10.
$\sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10^{\frac{4}{4}} = 10^1 = 10$.
$\sqrt{100} = \sqrt{10^2} = 10^{\frac{2}{2}} = 10^1 = 10$.
Подставим значения в исходное выражение: $10 \cdot 10 : 10^3$.
Используя свойства степеней, получаем: $10^{1+1} : 10^3 = 10^2 : 10^3 = 10^{2-3} = 10^{-1}$.
Значение выражения: $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1

в) $\sqrt[3]{81} \cdot 3^{2,6} : 3^{1,6}$

Представим все множители и делители как степени числа 3.
$81 = 3^4$, поэтому $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{\frac{4}{3}}$.
Выражение принимает вид: $3^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{2,6} : 3^{1,6}$.
Применяем свойства степеней (при умножении показатели складываются, при делении вычитаются):
$3^{\frac{4}{3} + 2,6 - 1,6} = 3^{\frac{4}{3} + 1}$.
Сложим показатели: $\frac{4}{3} + 1 = \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3}$.
Получаем $3^{\frac{7}{3}}$.
Это можно записать в виде корня: $3^{\frac{7}{3}} = 3^{2 + \frac{1}{3}} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 9\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $9\sqrt[3]{3}$

г) $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[3]{128} : 2^3$

Представим все числа в виде степеней с основанием 2.
$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2^{\frac{4}{4}} = 2^1 = 2$.
$128 = 2^7$, поэтому $\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{2^7} = 2^{\frac{7}{3}}$.
Выражение принимает вид: $2^1 \cdot 2^{\frac{7}{3}} : 2^3$.
Применяя свойства степеней, получаем: $2^{1 + \frac{7}{3} - 3}$.
Вычислим показатель степени, приведя к общему знаменателю 3: $1 + \frac{7}{3} - 3 = \frac{3}{3} + \frac{7}{3} - \frac{9}{3} = \frac{3+7-9}{3} = \frac{1}{3}$.
Результат: $2^{\frac{1}{3}}$, что равно $\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$

Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

11.8. a) $y = 3^x$;

б) $y = x^3$;

в) $y = x^{\frac{5}{3}}$;

г) $y = (\sqrt{3})^x$.

Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где основание $a$ — это постоянное положительное число, не равное единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а показатель степени $x$ — это переменная. В степенной функции, наоборот, основание является переменной, а показатель — постоянным числом.

Проанализируем каждую из заданных функций:

а) $y = 3^x$

В данной функции основание $a = 3$ — это константа, удовлетворяющая условиям $3 > 0$ и $3 \neq 1$. Переменная $x$ находится в показателе степени. Следовательно, эта функция является показательной.

Ответ: является показательной.

б) $y = x^3$

В этой функции основанием является переменная $x$, а показателем степени — константа $3$. Это степенная (кубическая) функция, а не показательная.

Ответ: не является показательной.

в) $y = x^{\frac{5}{3}}$

Здесь основанием также является переменная $x$, а показателем степени — константа $\frac{5}{3}$. Это степенная функция.

Ответ: не является показательной.

г) $y = (\sqrt{3})^x$

В этой функции основание $a = \sqrt{3}$ — это константа, удовлетворяющая условиям $\sqrt{3} > 0$ и $\sqrt{3} \neq 1$. Переменная $x$ находится в показателе степени. Следовательно, эта функция является показательной.

Ответ: является показательной.

11.9. a) $y = \pi^x;$ б) $y = x^\pi;$ в) $y = (\sqrt{x})^5;$ г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x.$

а)

Дана функция $y = \pi^x$. Это показательная функция вида $y = a^x$, где основание $a = \pi$ является константой, а показатель степени $x$ — переменной. Производная показательной функции находится по формуле: $(a^x)' = a^x \ln(a)$. Применяя эту формулу к нашей функции, получаем: $y' = (\pi^x)' = \pi^x \ln(\pi)$.

Ответ: $y' = \pi^x \ln(\pi)$.

б)

Дана функция $y = x^\pi$. Это степенная функция вида $y = x^n$, где основание $x$ является переменной, а показатель степени $n = \pi$ — константой. Производная степенной функции находится по формуле: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Применяя эту формулу, получаем: $y' = (x^\pi)' = \pi \cdot x^{\pi - 1}$.

Ответ: $y' = \pi x^{\pi - 1}$.

в)

Дана функция $y = (\sqrt{x})^5$. Сначала преобразуем функцию, используя свойства степеней. Корень из $x$ можно записать как $x$ в степени $1/2$: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Тогда функция принимает вид: $y = (x^{1/2})^5 = x^{1/2 \cdot 5} = x^{5/2}$. Теперь это степенная функция вида $y = x^n$ с показателем $n = 5/2$. Используем формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$: $y' = (x^{5/2})' = \frac{5}{2} \cdot x^{5/2 - 1}$. Вычислим новый показатель степени: $5/2 - 1 = 5/2 - 2/2 = 3/2$. Таким образом, производная равна: $y' = \frac{5}{2} x^{3/2}$. Результат также можно записать в виде $y' = \frac{5}{2} x\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{2} x^{3/2}$.

г)

Дана функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$. Это показательная функция вида $y = a^x$, где основание $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$ является константой. Применяем формулу для производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln(a)$: $y' = \left(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x\right)' = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x \ln\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$. Упростим логарифм, используя свойство логарифма степени $\ln(b^p) = p \ln(b)$: $\ln\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \ln(5^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \ln(5)$. Подставляем упрощенное выражение обратно в производную: $y' = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x \cdot \left(-\frac{1}{2} \ln(5)\right) = -\frac{\ln(5)}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$.

Ответ: $y' = -\frac{\ln(5)}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$.

11.10. Найдите значение показательной функции $y = a^x$ при заданных значениях $x$:

а) $y = 7^x$, $x_1 = 3$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1}{2}$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $x_1 = \frac{3}{2}$, $x_2 = 1$, $x_3 = -\frac{1}{2}$;

в) $y = (\sqrt{3})^x$, $x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = 5$;

г) $y = \left(\frac{4}{9}\right)^x$, $x_1 = -\frac{3}{2}$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2,5$.

а) Дана функция $y = 7^x$ и значения аргумента $x_1 = 3, x_2 = -1, x_3 = \frac{1}{2}$.
Чтобы найти значения функции, подставим данные значения $x$ в формулу:

• При $x_1 = 3$:
  $y_1 = 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$
• При $x_2 = -1$:
  $y_2 = 7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$
• При $x_3 = \frac{1}{2}$:
  $y_3 = 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$

Ответ: при $x=3, y=343$; при $x=-1, y=\frac{1}{7}$; при $x=\frac{1}{2}, y=\sqrt{7}$.

б) Дана функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и значения аргумента $x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = 1, x_3 = -\frac{1}{2}$.
Найдем значения функции для каждого $x$:

• При $x_1 = \frac{3}{2}$:
  $y_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
• При $x_2 = 1$:
  $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$
• При $x_3 = -\frac{1}{2}$:
  $y_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(2^{-1}\right)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: при $x=\frac{3}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{4}$; при $x=1, y=\frac{1}{2}$; при $x=-\frac{1}{2}, y=\sqrt{2}$.

в) Дана функция $y = (\sqrt{3})^x$ и значения аргумента $x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = 5$.
Найдем значения функции для каждого $x$:

• При $x_1 = 0$:
  $y_1 = (\sqrt{3})^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1)
• При $x_2 = 4$:
  $y_2 = (\sqrt{3})^4 = \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^4 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 3^2 = 9$
• При $x_3 = 5$:
  $y_3 = (\sqrt{3})^5 = (\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Ответ: при $x=0, y=1$; при $x=4, y=9$; при $x=5, y=9\sqrt{3}$.

г) Дана функция $y = \left(\frac{4}{9}\right)^x$ и значения аргумента $x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = -1, x_3 = 2,5$.
Представим десятичную дробь $2,5$ в виде обыкновенной: $2,5 = \frac{5}{2}$. Найдем значения функции для каждого $x$:

• При $x_1 = -\frac{3}{2}$:
  $y_1 = \left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{\frac{9}{4}}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$
• При $x_2 = -1$:
  $y_2 = \left(\frac{4}{9}\right)^{-1} = \frac{9}{4}$
• При $x_3 = 2,5 = \frac{5}{2}$:
  $y_3 = \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{5}{2}} = \left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$

Ответ: при $x=-\frac{3}{2}, y=\frac{27}{8}$; при $x=-1, y=\frac{9}{4}$; при $x=2,5, y=\frac{32}{243}$.

11.11. Найдите значение аргумента $x$, при котором функция $y = 2^x$ принимает заданное значение:

а) $16$;

б) $8\sqrt{2}$;

в) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

г) $\frac{1}{32\sqrt{2}}$.

а)

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y = 2^x$ принимает значение $16$, необходимо решить показательное уравнение:
$2^x = 16$.
Представим число $16$ в виде степени с основанием $2$:
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^x = 2^4$.
Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны. Следовательно:
$x = 4$.
Ответ: $4$.

б)

Необходимо решить уравнение $2^x = 8\sqrt{2}$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$. Для этого воспользуемся свойствами степеней.
Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{3 + 1/2} = 2^{7/2}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^x = 2^{7/2}$.
Приравнивая показатели степеней, находим $x$:
$x = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

в)

Необходимо решить уравнение $2^x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$.
Знаменатель $\sqrt{2}$ можно записать как $2^{1/2}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^x = 2^{-1/2}$.
Приравнивая показатели степеней, находим $x$:
$x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г)

Необходимо решить уравнение $2^x = \frac{1}{32\sqrt{2}}$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$.
Сначала преобразуем знаменатель $32\sqrt{2}$. Мы знаем, что $32 = 2^5$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
$32\sqrt{2} = 2^5 \cdot 2^{1/2} = 2^{5 + 1/2} = 2^{11/2}$.
Теперь преобразуем всю дробь, используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:
$\frac{1}{32\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{11/2}} = 2^{-11/2}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^x = 2^{-11/2}$.
Приравнивая показатели степеней, находим $x$:
$x = -\frac{11}{2}$.
Ответ: $-\frac{11}{2}$.

11.12. Найдите значение аргумента $x$, при котором функция

$y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ принимает заданное значение:

а) $\frac{1}{25}$;

б) $\frac{1}{25\sqrt{5}};$

в) 125;

г) $625\sqrt{5}$.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y = (\frac{1}{5})^x$ принимает заданное значение, нужно решить показательное уравнение $(\frac{1}{5})^x = y$ для каждого заданного значения $y$. Для этого представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием $5$.

Используем свойство степеней: $(\frac{a}{b})^n = (b/a)^{-n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Тогда исходную функцию можно записать как $y = (5^{-1})^x = 5^{-x}$.

а)

Найдем $x$, если значение функции равно $\frac{1}{25}$.

Составим уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{5}$:

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$

Получаем уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$.

б)

Найдем $x$, если значение функции равно $\frac{1}{25\sqrt{5}}$.

Составим уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25\sqrt{5}}$

Преобразуем правую часть, представив ее как степень числа 5. Используем свойства $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{1/2} = 5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{5/2}$

Тогда $\frac{1}{25\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{5/2}} = 5^{-5/2}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$5^{-x} = 5^{-5/2}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = -\frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $2.5$.

в)

Найдем $x$, если значение функции равно $125$.

Составим уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = 125$

Представим обе части уравнения как степени с основанием 5:

$(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$

$125 = 5^3$

Получаем уравнение:

$5^{-x} = 5^3$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 3$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

г)

Найдем $x$, если значение функции равно $625\sqrt{5}$.

Составим уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = 625\sqrt{5}$

Представим обе части уравнения как степени с основанием 5:

$(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$

$625\sqrt{5} = 5^4 \cdot 5^{1/2} = 5^{4 + \frac{1}{2}} = 5^{9/2}$

Получаем уравнение:

$5^{-x} = 5^{9/2}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = \frac{9}{2}$

$x = -\frac{9}{2} = -4.5$

Ответ: $-4.5$.